Условная вероятность события вычисляется при условии, что некоторое (первое) событие произошло. Множество случаев сужается до множества случаев благоприятных («хороших») для события, про которое известно, что оно произошло.
В задании может быть явно написано «найти условную вероятность»; часто встречается фраза «известно, что …»
Пример 1
Игральную кость бросили два раза. Известно, что два очка не выпали ни разу. Найдите при этом условии вероятность события «сумма выпавших очков окажется равна 4».
Решение
Запишем схему случаев в виде таблицы сумм. Для нахождения условной вероятности события «в сумме выпало 4 очка» используем классическое определение вероятности.
Известно, что два очка не выпали ни разу, значит надо исключить те случаи, в которых 2 очка выпало в первый раз или во второй раз – вычеркиваем вторую строку и второй столбец в таблице сумм.
Теперь общее количество случаев совпадает с количеством случаев, благоприятных событию «два очка не выпали ни разу», про которое известно, что оно произошло.
Всего случаев n = 36 – 11 = 25 (они отмечены точками в таблице сумм), из них 2 случая являются благоприятными для события «сумма выпавших очков окажется равна 4» (они выделены зеленым цветом в таблице сумм), m = 2.
Пример 2
Игральный кубик бросают дважды. Известно, что в сумме выпало 6 очков. Найдите вероятность того, что в первый раз выпало 2 очка.
Решение
Запишем схему случаев в виде таблицы сумм. Задание на условную вероятность. Будем использовать классическое определение вероятности.
Общее количество случаев совпадает с количеством случаев, благоприятных событию «в сумме выпало 6 очков», т.к. известно, что оно произошло. Общее число случаев n = 5 (они подписаны в таблице сумм).
Из этих пяти случаев только один благоприятный для события «в первый раз выпало 2 очка» (он выделен зеленым цветом в таблице сумм), m = 1.
Пример 3
При двукратном бросании игральной кости в сумме выпало 5 очков. Какова вероятность того, что хотя бы один раз выпало 3 очка?
Решение
Запишем схему случаев в виде таблицы сумм. Задание на условную вероятность. Будем использовать классическое определение вероятности.
Общее количество случаев совпадает с количеством случаев, благоприятных событию «в сумме выпало 5 очков», т.к. известно, что оно произошло. Общее число случаев n= 4 (они подписаны в таблице сумм).
Из этих четырех случаев только два случая благоприятны для события «хотя бы один раз выпало 3 очка» (они выделены зеленым цветом в таблице сумм), m = 2. Событие «хотя бы один раз выпало 3 очка» означает, что 3 очка выпало при первом или втором броске кубика.
Пример 4
В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Известно, что хотя бы на одном из кубиков выпало 3 очка. Найти вероятность того, что в сумме выпало больше 5 очков. Ответ округлить до сотых
Решение
Запишем схему случаев в виде таблицы сумм. Задание на условную вероятность. Будем использовать классическое определение вероятности.
Общее количество случаев совпадает с количеством случаев, благоприятных событию «хотя бы на одном из кубиков выпало 3 очка», т.к. известно, что оно произошло. Общее число случаев n = 11 (они отмечены точками в таблице сумм).
Из этих одиннадцати случаев семь случаев благоприятны для события «в сумме выпало больше 5 очков» (они выделены зеленым цветом в таблице сумм), m = 7.
Пример 5
Игральный кубик бросают дважды. Известно, что во второй раз выпало больше, чем 2. Найдите вероятность того, что в сумме выпало 6.
Решение
Запишем схему случаев в виде таблицы сумм. Задание на условную вероятность. Будем использовать классическое определение вероятности.
Известно, что во второй раз выпало больше, чем 2 очка, значит надо исключить те случаи, в которых 1 или 2 очка выпало во второй раз – вычеркиваем первый и второй столбец в таблице сумм.
Общее количество случаев совпадает с количеством случаев, благоприятных событию «во второй раз выпало больше, чем 2 очка», т.к. известно, что оно произошло. Общее число случаев n= 36 – 12 = 24 (они отмечены точками в таблице сумм).
Из этих случаев три случая благоприятны для события «в сумме выпало 6 очков» (они выделены зеленым цветом в таблице сумм), m = 3.
Пример 6
В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Известно, что на первом кубике выпало больше очков, чем на втором кубике. Найти вероятность того, что в сумме выпало больше 7 очков
Решение
Запишем схему случаев в виде таблицы сумм. Задание на условную вероятность. Будем использовать классическое определение вероятности.
Общее количество случаев совпадает с количеством случаев, благоприятных событию «на первом кубике выпало больше очков, чем на втором кубике», т.к. известно, что оно произошло.
Общее число случаев n = 15 (они отмечены точками в таблице сумм).
Из этих случаев шесть случаев благоприятны для события «в сумме выпало больше 7 очков» (они выделены зеленым цветом в таблице сумм), m = 6.
Задания для самостоятельного решения – вариант 2