Продолжаем серию публикаций о кружковском мышлении. Первые двадцать шесть частей:
1. Об осмысленности и автоматизме;
2. Кружковская задача;
3. Кружковская задача 2;
4. Шахматематика;
5. Кружковская задача 3;
6. Уровни очевидности;
7. Комплексный тест;
8. Кружковская задача 4;
9. Кружковская задача 5;
10. Разрезания и замощения;
11. Кружковская задача 6;
12. Кружковская задача 7;
13. Авторская задача;
14. Кружковская задача 8;
15. Задача про жизнь;
16. Кружковская задача 9;
17. Кружковская задача 10;
18. Хитрые доминошки;
19. Школьная задача;
20. Кружковская задача 11;
21. Деление с остатком;
22. Оценка плюс пример;
23. Опять двадцать пять...;
24. Кружковская задача 12;
25. Про календарь;
26. Кружковская задача 13.
Задача
Светофор состоит из четырёх лампочек, расположенных в ряд. Сколько различных сигналов можно подать с его помощью?
Решения
Размещения с повторениями
Каждая из лампочек может либо гореть, либо не гореть: по два варианта. На каждый вариант для первой лампочки есть по два варианта, горит или не горит вторая. На каждый вариант для первых двух есть ещё по два для третьей. На каждый вариант для первых трёх - ещё по два для четвёртой. Всего 2*2*2*2=16 различных сигналов.
Переборное решение: обозначим через Х лампочки, которые горят, и О - которые не горят. Тогда есть такие варианты: ХХХХ, ХХХО, ХХОХ, ХХОО, ХОХХ, ХОХО, ХООХ, ХООО, ОХХХ, ОХХО, ОХОХ, ОХОО, ООХХ, ООХО, ОООХ, ОООО. Система перебора соответствует приведённому выше решению.
Сочетания без повторений
Может гореть от 0 до 4 лампочек. Количество способов выбрать каждое из этих количеств лампочек равно соответствующему числу сочетаний: 1, 4, 6, 4 и 1. Всего 1+4+6+4+1=16 сигналов.
Переборное решение: если лампочки не горят, то это 1 способ; если горит одна, то это 4 способа (ХООО, ОХОО, ООХО, ОООХ); если горит две, то это 6 способов (ХХОО, ХОХО, ХООХ, ОХХО, ОХОХ, ООХХ); если горит три, то это 4 способа (ХХХО, ХХОХ, ХОХХ, ОХХХ); если лампочки горят, то это 1 способ.
Комментарий
Обычно с этой и подобных задач начинается заход в числа размещений с повторениями, но я поставил интересный эксперимент - сперва дал задачи с ответом число размещений, которые дети хорошо порешали, потом мы с ними вывели общую формулу, а затем появилась эта задача. Результат мне не понравился: все, кто сдавал задачу, делали её через сумму сочетаний, но даже (пройденную к этому моменту) формулу числа сочетаний они при этом не вспомнили, предпочитая кривоватый перебор.
Первый (полуторный) год, пятый класс. Неожиданный эффект.
#математика #математическийкружок #образованиевроссии #школа
P.S. Не забывайте прочитать об истории математических кружков в Ленинграде/Санкт-Петербурге и обо мне.