Здравствуйте, уважаемые читатели. В этой статье рассмотрим задачи по геометрии за 8-9 класс. Задачи на нахождение площади треугольника. Они встречаются в 15 задании ОГЭ по математике.
В статье будут рассмотрены несколько формул вычисления площади треугольника.
Первая теорема
Площадь треугольника равна половине произведения его высоты на сторону, к которой она проведена.
Задача №1
Сторона треугольника равна 16, а высота, проведённая к этой стороне, равна 19. Найдите площадь этого треугольника
Решение
Задача №2
У треугольника со сторонами 2 и 10 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведённая к первой стороне, равна 5. Чему равна высота, проведённая ко второй стороне?
Решение
Площадь треугольника равна половине произведения его высоты на сторону, к которой она проведена. Поэтому площадь треугольника в каждом случае будет одинаковой.
Задача №3
На стороне AC треугольника ABC отмечена точка D так, что AD=6, DC=10. Площадь треугольника ABC равна 48. Найдите площадь треугольника BCD.
Решение
Если на стороне треугольника взята точка, которая делит эту сторону в отношении m:n, то отрезок, соединяющий эту точку с вершиной противолежащего угла, делит треугольник на два треугольника, площади которых относятся как m:n:
Отрезок AD относиться к отрезку DC как 6:10. Значить площадь треугольника ABD составляет 6 частей от площади треугольника АВС, а площадь треугольника DBC - 10 частей. Вся площадь треугольника ABC равна 16 частей. По условию площадь треугольника АВС равна 48. Значит площадь треугольника ВСD=(48/16)*10=30.
Ответ 30
Задача №4
Два катета прямоугольного треугольника равны 4 и 10. Найдите площадь этого треугольника.
Решение
Вторая теорема
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.
Ответ 20
Задача №5
В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 4, а угол, лежащий напротив него равен 45°. Найдите площадь треугольника
Решение:
Если в прямоугольном треугольнике, один из острых углов равен 45 градусам, то и второй острый угол равен 45 градусам, так как сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90 градусов. Если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник равнобедренный.
Значит в треугольнике катеты равны 4 ( a=b=4). Найдем площадь равнобедренного прямоугольного треугольника:
Ответ 8
Задача №6
Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 8 и 17.
Решение
Вспомним что такое катет и гипотенуза.
Стороны прямоугольного треугольника, которые образуют прямой угол, называются катеты, а третья сторона - гипотенуза.
Чтобы вычислить площадь прямоугольного треугольника, необходимо вычислить второй катет. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора.
Теорема Пифагора
Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Зная оба катета прямоугольного треугольника, вычислим его площадь:
Ответ 60
Задача №7
Катеты прямоугольного треугольника равны 21 и 72. Найдите высоту, проведенную к гипотенузе.
Решение
В этой задаче, чтобы найти высоту, проведенную к гипотенузе, необходимо воспользоваться двумя формулами нахождения площади треугольника. Первая формула (для прямоугольного треугольника): половина произведения его катетов. Вторая формула: половина произведения высоты на сторону, к которой эта высота проведена. Площадь, вычисленная разными формулами одной фигуры, одинаковая. Для решения, нам понадобятся размеры гипотенузы. Вычислим ее:
Теперь найдем, чему будет равна высота:
Ответ 20,16
Задача №8
Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 25, а основание равно 48. Найдите площадь этого треугольника.
Решение.
В этой задаче, площадь треугольника найдем по формуле Герона. Для этого нужно знать полупериметр (периметр, деленный на 2) треугольника и длину каждой стороны.
В равнобедренном треугольнике, боковые стороны равны. Найдем периметр треугольника. Периметр треугольника - это сумма всех длин сторон треугольника
Ответ 168
Задача №9
В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 82, а один из острых углов равен 45°. Найдите площадь треугольника.
Решение
Если в прямоугольном треугольнике, один из острых углов равен 45 градусам, то и второй острый угол равен 45 градусам, так как сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90 градусов. Если в треугольнике два угла равны, то этот треугольник равнобедренный.
В нашем случает получается треугольник прямоугольный и равнобедренный т.е. катеты треугольника равны. Найдем катеты прямоугольного треугольника через теорему Пифагора.
Пусть катеты прямоугольного треугольника это Х
Ответ 1681
Задача №10
Решение
Третья теорема. Теорема о площади треугольника (9 класс)
Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.
Ответ 50
Спасибо, что дочитали. Вы меня очень поддержите, если поставите лайк и подпишитесь на мой блог