У моих друзей, родственников, знакомых встречаются противоположные взгляды на то, что сейчас происходит в мире и в нашей стране. Возникают ожесточенные споры, когда никто никого не может убедить. И всё сводится не к рациональным доводам, а к возражению «Ты не видишь очевидного». Вы наверняка тоже в таких спорах участвовали или хотя бы слышали. Некоторые спорщики как сектанты: держатся своей доктрины во что бы то ни стало, вне зависимости от реальности.
(На тему, почему у людей возникают стойкие иррациональные убеждения-верования, советую книги Роба Бразертона «Недоверчивые умы. Чем нас привлекают теории заговоров» и Паскаля Буайе «Объясняя религию. Природа религиозного мышления».)
А вот математика представляется нам совсем другой территорией. И правда, разве в математике можно полагаться на «это очевидно»? Не-не-не, только доказательство! Капитан Очевидность не пройдет!
Природу математического доказательства всерьёз изучал венгерский философ математики Имре Лакатос. Он родился ровно 100 лет назад, 9 ноября 2022 года, в Венгрии; от рождения его звали Аврум Липшиц. Людей с такой фамилией позже стали истреблять только за национальность, так мать и бабушка Лакатоса погибли в Освенциме. Но ему самому повезло. Правда, пришлось сменить имя на Имре Мольнар, позднее на Лакатош, или Лакатос. В 1944 году он закончил университет с дипломом по математике, физике и философии, после войны учился в аспирантуре в Москве, а в 1961 году в Кембриджском университете защитил диссертацию «Эссе по логике математических открытий».
Он взял для примера знаменитую формулу, связывающую число вершин, ребер и граней многогранника:
В - Р + Г = 2.
Лакатос подробно изучил «биографию» формулы — как она была открыта и доказана, и на этом примере развил свою теорию о том, как свершаются математические открытия, как прирастает в математике территория знаний. Позднее он переписал свою работу для более широкой публики в книге «Доказательства и опровержения. Как доказываются теоремы».
Собственно реальная история в книге дана в примечаниях: в чём состоял вклад тех или иных математиков в развитии теории многогранников. А основной текст — это сократовские диалоги между учителем и учениками. Они обсуждают, как именно строилась теория, но уже с высоты общего подхода. Отмечают: вот высказана догадка, вот намечено пошаговое доказательство, вот его критикуют, предъявляют контрпримеры, уточняют понятия и формулировки... Эти этапы приложимы не только к истории конкретной формулы, но к созданию математики вообще.
Получается, что в математике знания не просто накапливаются шаг за шагом. Она строится в постоянном плотном взаимодействии догадок, доказательств и опровержений; постоянно происходят возвращения, переделки и перестройки. Постоянно возникают противоречия между построенными утверждениями и контрпримерами (и именно противоречия «включают» творческую мысль).
По Лакатосу, учёный работает не в рамках теории, а в рамках исследовательской программы. У программы есть жесткое ядро (база, не подлежащая изменению) и защитный пояс, — то, что может дорабатываться и видоизменяться в ходе работы и столкновения с противоречиями. Утверждение
Значение В - Р + Г одно и то же для всех многогранников
— жёсткое ядро теории. Если мы встречаемся с контрпримером в виде куба с дыркой, то не отбрасываем ядро, а уточняем, к каким именно многогранным телам теория применима.
Ядро не опровергается, а только дорабатывается защитный пояс.
Возможно, что жёсткость ядра — не в сути математики, а в головах её создателей. Новые поколения не воспринимают ядро таким уж жёстким и могут отказаться от него и переделать. Лобачевский потому и гений, что вторгся в державшееся тысячелетиями ядро планиметрии и переделал его.
И мы в быту сталкиваемся с этим, когда пытаемся переубедить кого-то. Пытаемся перекроить чужое жёсткое ядро, а все выливается в бесконечные перекройки защитного пояса.
Книгу Лакатоса рекомендую школьникам и студентам, которые хотят заниматься математикой всерьез. В ней нет очень уж сложной математики, но это отнюдь не простая книга. Как и любая другая, если выводит нас на новый уровень представлений о нашей науке.