Здравствуйте, уважаемые читатели. В этой статье рассмотрим простейшие задания по геометрии на применение свойств медианы и биссектрисы в треугольнике.
Что такое медиана треугольника?
Медиана треугольника - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
Другими словами, медиана треугольника делит противоположную сторону на два равных отрезка.
Задача №1
В этой задаче длина медианы ВМ является лишней и для решения не используются. Для решения нужно взять длину стороны АС. Чтобы найти АМ нужно, по свойству медианы треугольника, разделить сторону АС на 2 и получим отрезок АМ.
Задача №2
Что такое биссектриса ?
Биссектриса угла - это луч, исходящий из вершины угла и делящий этот угол на два равных.
Биссектриса треугольника – это отрезок, соединяющий вершину угла треугольника с противоположной стороной и делящий этот угол на две равные части.
Теперь решим задачу.
Задача №3
В условии задачи, точка М - середина стороны АВ, значит СМ - медиана. Вспомним свойство медианы в прямоугольном треугольнике проведенной из вершины прямого угла:
Медиана в прямоугольном треугольнике, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы (значение гипотенузы делим на 2). Значит для решения задачи этой задачи нам нужно знать только значение отрезок АВ (гипотенузы), а значение отрезка ВС дано лишним.
Задача №4
Так как точка М является серединой АВ (АМ= МВ) и точка N является серединой ВС (BN=NC), то отрезки СМ и AN являются медианами в треугольнике АВС. Для решения этой задачи полезно знать свойство медиан треугольника:
Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
Решим задачу на части:
Весь отрезок AN = 15, но он поделен точкой О на два отрезка. Один отрезок равен две части, второй отрезок равен одной части.
Задача №5
Здесь представлены на вид 6 разных задач, но если внимательно прочитать, то можно заметить, что они одинаковые. Решить такие задачи можно как по теореме Пифагора, так и с помощью свойства медиан в треугольнике и вписанной окружности.
Для решения этих задач с помощью свойств медиан в треугольнике, вспомним свойство равностороннего треугольника и вписанной окружности в треугольник.
1) В равностороннем треугольнике медианы, биссектрисы и высоты совпадают и пересекаются в одной точке.
2) Центром вписанной окружности в треугольник является точка пересечения биссектрис. Значит в разностороннем треугольнике центром вписанной окружности является пересечение биссектрис, медиан и высот.
3) Свойство медиан в треугольнике: Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
Рассмотрим решение такой задачи:
Для нахождения стороны или высоты равностороннего (правильного) треугольника, воспользуемся формулами, которые есть в справочном материале, выдаваемое на экзамене:
Так как в нашей задаче биссектриса равностороннего треугольника является медианой, найдем чему будет равна одна часть, т.е. радиус вписанной окружности:
Аналогично решаются задачи, где дана медиана или высота равностороннего (правильного) треугольника.
Решим второй тип подобной задачи:
Так как биссектриса в равностороннем треугольнике является медианой и высотой, то мы можем найти высоты по формуле
Можно эту задачу решить через свойство медиан треугольника:
Спасибо, что дочитали. Вы меня очень поддержите, если поставите лайк и подпишитесь на мой блог