Предлагаю вашему вниманию логическую задачу про страницы за 9-й класс. Задачка потребует от вас некоторых логических рассуждений и математических выкладок. 😉
Разбор задачи ниже, под иллюстрацией.
Условие задачи
Кандидат наук хочет получить учёную степень доктора и пишет диссертацию, которая состоит из двух глав. Каждая страница диссертации пронумерована, а первая глава начинается со страницы №1. Когда кандидат наук закончил свою работу, он заметил, что сумма номеров страниц первой главы равна сумме номеров страниц второй главы.
Сколько страниц в диссертации, при условии, что
страниц не меньше 6, но не больше 100?
Решение задачи
Введём обозначения. Пусть в первой главе содержится a страниц, а всего в диссертации x страниц, тогда во второй главе будет x-a страниц.
Вспомним про арифметическую прогрессию и формулу суммы n первых чисел натурального ряда:
S = n *(a1 + an) / 2 ,
где a1 — это первый член прогрессии,
an — n-й член прогрессии.
Используя эту формулу, определим количество страниц в первой и во второй главах.
Для первой главы:
1+ 2 + 3 + ... + a = a*(1 + a) /2.
Для второй главы:
(а+1) + (а+2) + (а+3)+...+х = (х-а)(а+1+х) / 2 =
= 0.5 * ((х-а) * (х+а+1)) = 0.5 * ((х-а) * (х+а)+(х-а)) =
= 0.5 * (х²-а²+х-а) = 0.5 * (х(х+1) - а(а+1)) = х(х+1) / 2 - а(а+1) / 2.
Приравняем оба выражения, т. к. суммы номеров страниц в главах одинаковы:
a*(1 + a) /2 = х(х+1) / 2 - а(а+1) / 2
Перенесём а(а+1) / 2 влево и получим:
a*(a+1) = х(х+1) / 2
Давайте подумаем, каким должен быть х, чтобы удовлетворять этому равенству? Число х или (х+1) должно быть кратно 4, а также полупроизведение двух последовательных натуральных чисел х и (х+1) должно быть равно произведению двух последовательных
чисел a и (a +1). При условии, что х больше 6, но меньше 100, этому условию удовлетворяет единственное натуральное число х = 20.
х(х+1)/2 = 20*21/2 = 10 * 21 = 14 * 15.
Отсюда а = 14, тогда х-а = 20-14 = 6.
Сумма номеров страниц первой главы диссертации равна:
a*(1 + a) /2 = 14 * 15 /2 = 105,
что совпадает с суммой номеров второй главы:
х(х+1) / 2 - а(а+1) / 2 = 20*21/2 - 14*15/2 = 210-105 = 105.
Так или иначе решение задачи сводится к перебору всех чисел в заданном промежутке. Буду очень благодарен, если вы найдёте более красивое и элегантное решение, без применения метода перебора.
На этом прощаюсь с вами.
Хорошего дня!