Я нашел эту задачу на одном англоязычном форуме. Человек, который задал вопрос сказал, что она попалась ему на олимпиаде в городе Ньютон (США), но неизвестно для какого класса учащихся была организована эта олимпиада. Мне задачка понравилась, поэтому делюсь ей с вами и предлагаю бросить вызов американским гениям, решив её. 😀
Разбор задачи сразу после объявления её формулировки.
Условие задачи
Сколько троек (x, y, z) положительных целых чисел удовлетворяют обоим условиям:
- сумма чисел x + y + z кратна 3,
- 1⩽ x ⩽ 10, 1 ⩽ y ⩽ 10, 1 ⩽ z ⩽10.
Решение задачи
Самое важное в это задаче - это заметить тот факт, что каждое целое число имеет остаток либо 0, либо 1, либо 2 при делении на 3. То есть каждое целое число либо кратно 3, либо на один больше, чем число кратное 3, либо на два больше, чем число кратное 3. Предположим, что
(x + y + z) кратно 3.
Если x кратно 3, то y + z также кратно 3. Есть три способа, которыми это может произойти:
- Как y, так и z кратны 3,
- Число y на единицу больше, чем число кратное 3, а z на два больше, чем число кратное 3,
- Или y на два больше, чем кратно 3, а z на единицу больше, чем кратно 3.
Если x на единицу больше, чем число кратно 3, то (y+z) должно быть на два больше, чем кратное 3. Опять же, это может произойти тремя способами.
Мы суммируем возможные остатки после того, как x, y и z будут разделены на 3 (либо 0, либо 1, либо 2), что приведет к тому, что x + y + z будет кратно 3 (взгляните на таблицу ниже):
Из целых чисел от 1 до 10 (включительно) всего три числа кратны 3: 3, 6 и 9 Числа 1, 4, 7 и 10 на единицу больше, чем числа кратные 3 (всего 4) (здесь главное не забыть про 0, который тоже кратен 3). А числа 2, 5 и 8 на две больше, чем кратные 3 (всего 3).
Таким образом, например, существует 3 × 3 × 3 = 27 троек (x, y, z),
так что x + y + z кратно 3, а каждое из x, y и z кратно 3.
Вычисляя общее количество для каждой строки в приведенной выше таблице, мы имеем, что общая сумма составляет:
2(27) + 64 + 6(36) = 54 + 64 + 216 = 334.
Таким образом наш ответ: 334 варианта троек.