Как часто мы видим просто шляпу там, где может скрываться слон в удаве? Познавать и открывать новые возможности, вырабатывать новое понимание и решение проблем — это то, чему может научиться каждый из нас.
В комментариях к моей статье с примером №7 обсуждались графики функций вида
В комментариях к той статье разъяснено, почему эти графики так сильно различны между собой, хотя выражения для функций очень похожи, различие между ними только во втором коэффициенте трёхчлена.
Внимание: сейчас мы рассматриваем характерные ситуации, встречающиеся на ЕГЭ. Обратите внимание, что функции, графики которых изображены на рисунке, имеют положительный первый коэффициент трёхчлена (при 2й степени x). А теперь возьмём пример из ОБЗ ФИПИ, в котором первый коэффициент трёхчлена, помещённого под знак квадратного корня, отрицателен:
Найти все значения а, при которых уравнение имеет один корень.
На первый взгляд, ничего особенного. Почему бы не возвести в квадрат уравнение, как в рассмотренном примере №7, и далее действовать аналогично... Однако, преобразования получаются такие, что скоро становится ясно: аналитический способ выглядит громоздким и займет очень много времени с непонятными перспективами, а для решения неплохо бы поискать другой способ, так как время на экзамене ограничено. Как известно, для решения уравнений применяется ещё графический способ.
Функцию в левой части заданного уравнения обозначим Y, а функцию в правой части G. Выполним на плоскости XOY возможные построения и будем искать точки пересечения графиков.
Анализируем квадратичную функцию. Ветви графика, понятно, уходят вниз. Приравнивая трёхчлен нулю и умножая такое уравнение на (-1), пользуясь теоремой Виета, находим корни трёхчлена: -1 и -7 легко (значит, правильным путём идём, друзья!). Определяем координаты вершины опрокинутой параболы, которая по оси OX лежит точно посредине двух корней: Xв= [(-1)+(-7)]/2=-4. Ордината вершины параболы , следовательно,
Yв = -(-4)∙(-4) - 8∙(-4) - 7=9.
Компьютером на экзамене пользоваться не разрешают, так что будем строить на бумаге руками:
Точка A (-4; 9) - вершина параболы.
Но всё это это ещё находится под корнем квадратным. Значит, для функции Y необходимо предусмотреть область определения [-7; -1], на которой трёхчлен может принимать только неотрицательные значения.
Для получения координат хотя бы трёх точек графика функции Y надо посчитать их ординаты в точках с абсциссами -7; -4; -1; легко видеть, что это будут точки (-7; 0); (-4; 3); (-1; 0). Нанесём их на график красным цветом:
Смотрим на то, что получилось и видим, что эти три красные точки равноудалены от одной точки (-4; 0). Очевидно, эти три красные точки лежат на полуокружности с центром в этой точке
Для того, чтобы окончательно вынуть "слона из удава", требуется доказать, что и все остальные точки красного графика для y от 0 до 3 лежат на этой полуокружности, т.е. заданы известным уравнением вида
Для того, чтобы связать таким уравнением квадраты x и y, возведем во вторую степень уравнение
Избавились от радикала, перенесём влево одночлены с переменными, а свободный член оставим в правой части. После несложных преобразований, получится такое уравнение:
Таким образом, доказано, что все точки красного графика лежат на полуокружности с центром в точке (-4; 0) радиуса 3.
Окончательно разобравшись со "слоном", проанализируем линейную функцию в правой части G = -ax+2a+3 = -a(x-2)+3. Если для функции -ax воспользоваться правилами параллельного переноса, то для получения заданной функции её надо переместить вправо на 2 единицы и вверх на 3. Т.е. точка (0; 0) как бы "переезжает" в точку (2; 3), и через неё будет проходить бесчисленное множество прямых, отличающихся угловым коэффициентом k= -a.
Полагая a = 0 => G=3 (прямая параллельна оси OX);
a = -1 => G = (x-2)+3
и т.д.
Итак, дополнительное образование даёт ученику важные сведения (например, как надо рассматривать квадратный трёхчлен под знаком квадратного корня), которые пригодятся на ЕГЭ.
До формирования ответа на задачу осталось совсем немного. Дорогой ученик, я надеюсь, что тебе будет интересно завершить решение самостоятельно. Ответ, пожалуйста, укажи в комментариях - я проверю и сообщу, правильно ли. Можно также отправить ответ мне на почту, которая находится здесь. Я обязательно отвечу.
Если Вам понравилась статья, поставьте лайк и подпишитесь на канал, это поможет и другим пользователям получить полезную информацию, спасибо!