Тест. Проверяем знания за 9-й класс. 95% людей допускают ошибки в этом тесте!

Будьте внимательны, не все задания так просты, как кажутся 😁

Тест

Тест закончился. Под картинкой будут решения и ответы, так что поднимайтесь вверх, если желаете завершить тест.

Теперь порешаем вместе

Пояснения и решения

Задание №1

Очевидно, что если мальчики в общей сложности танцевали 8 раз, то и девочки тоже, ведь они танцевали парами. Значит (3 + 1 + 2 + 2) - 4*2 =2

Четвертая девочка танцевала 2 раза.

Задание №2

Звезда имеет 12 одинаковых рёбер, сумма которых дает её периметр, равный 36 см. Отсюда 1 ребро равно 3 см, а периметр желтого шестиугольника равен 3*6 = 18 см.

Задание №3

Визуальная иллюстрация решения задачи

Площадь синего квадрата будет равна 1/9, т. к. большой квадрат поделен на 9 частей.

Площадь розового квадрата будет 1/9 * 1/4, т. е. мы поделили площадь синего квадрата на 4.

Тогда площадь черного квадрата равна площади розового квадрата, разделенного на 25 частей, или
1/9 * 1/4 * 1/25 = 1/900

Задание №4

Построим центр многоугольника и отметим его точкой О.

Формула внутреннего угла правильного n-угольника выглядит следующим образом:

Посчитаем внутренний угол

Определим угол гамма γ = 360/9 = 40°

Угол гамма на рисунке

Тогда ∠АСО = 180° - 2*γ - 1/2*β = 180° - 2*40° - 70° = 30°

Угол альфа

А искомый угол α=2*∠АСО = 60°

Задание №5

Пусть площадь одной грани исходного куба равна 1. Тогда площадь поверхности исходного куба = 6.

Разрез плоскостью

При разрезе плоскостью, мы получаем 2 две грани, площадь каждой из них равна 1 (назовём их внутренними гранями). Мы имеем три разреза плоскостью, значит имеем 6 внутренних граней.

Сумма поверхностей площадей разрезанных параллелепипедов будет равна поверхности исходного куба + 6 внутренних граней .

Тогда искомое соотношение площадей равно 12:6 или 2:1

Задание №6

Последовательность будет выглядеть следующим образом:

10 5 1 9 3 6 2 4 8

Задание №7

Рисунок к задаче №7

В треугольнике ACD по теореме синусов найдем AC.

Находим АС

Теперь по той же теореме синусов выразим AB и BC через известную AC. Не будем пока заменять sin120° численным значением.

Значения AB и BC, выраженные через известную AC

Найдем разность AB и AC. Применим формулу разности синусов для
sin120° - sin40°.
sin α - sin β = 2 cos((α + β)/2) * sin ((α - β)/2)

Найдем разность AB и AC

Теперь дважды применим формулу двойного угла синуса.
sin 2α= 2 sin α * cos α

Применяем формулу двойного угла синуса

Дважды применим формулу произведения двух косинусов.

cos α * cos β= 1/2 * (cos (α− β) + cos (α+ β)).

Упрощаем выражение, используя формулу произведения косинусов.

Буду откровенен, я не уверен, что нашел самое элегантное решение для последней задачи. Буду рад, если вы предложите свой вариант, который окажется короче.

На этом прощаюсь с вами. Хорошего дня!