Приветствую Вас, уважаемые Читатели! В школе тот факт, что разложение на простые множители натуральных чисел единственно, не подвергался сомнениям.
Действительно, пробуем ли мы разложить числа 56, 205 или какое-либо другое, вычисления в какой-то момент остановятся:
Формализует эти вычисления основная теорема арифметики, которую доказал Евклид:
Однако в математике существуют числовые системы, в которых всё не так привычно.
Вспомните целые гауссовы числа: их мы произвольно определяли как:
Мы же рассмотрим некое другое расширение целых чисел, а именно добавим к ним всего одно иррациональное число:
В таких числах сложение и умножение определим как у привычных комплексных чисел:
Ого! Здесь мы уже видим, что получили с помощью двух способов одно и то же число!
Однако, давайте посмотрим немного вглубь: как раскладывается знакомые нам целые числа в этой числовой системе:?
Хотя 2 и 3 в привычных целых числах носят гордое наименование простых, в нашей числовой системе это не так! Например:
Получается, что разложение числа 6 в расширенном таким образом кольце целых чисел может быть таким:
Если продолжить рассуждения, то окажется, что четыре найденных нами множителя уже не допускают разложения, а значит являются аналогами простых чисел в расширенном кольце Z[√6].
В то же время, разложение всё так же единственно с точностью до порядка.
Однако, стоит нам расширить кольце целых чисел немного другим способом, как всё перевернется!
В таком кольце, как я покажу в следующем материале, числа 2,3 и √-6 являются "простыми", т.е. разложить число 6 можно двумя сильно различными способами!
Впрочем, это уже совсем другая история. Спасибо за внимание!