Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня я хочу познакомить Вас с одной замечательной головоломкой, которую придумал в 1922 году британский математик Эдвард Манн Лэнгли.
Будучи создателем и главным редактором журнала "The Mathematical Gazette" , Эдвард наполнял его интересными для молодой аудитории задачками, делился педагогическим опытом. Одна из задач выглядела следующим образом:
Требуется найти всего лишь один неизвестный угол, при достаточно объемном условии на остальные. Казалось бы, рядовая геометрическая задача, но это лишь на первый взгляд. Разнообразных решений оказалось настолько много, что интерес к задаче не утихал более 50 лет!
Первое чисто геометрическое решение задачи было разработано только через год!
Для этого нужно провести два дополнительных отрезка BG и FG, при чем первый - под углом 20 градусов к основанию.
Замысел доказательства в том, чтобы доказать равенство всех красных отрезков на рисунке выше. Продолжаем:
Получили еще пару равных сторон. Теперь по рисунку видно, что угол GBF равен 60 градусов, а это значит, что треугольник BGF - равносторонний.
Теперь рассмотрим треугольник, который содержит искомый угол и получим ответ:
Это решение, конечно, нельзя назвать сложным, но к тривиальным его отнести нельзя. И что точно можно сказать, его нельзя отнести к красивым. Всего в математических журналах на данный момент опубликовано более 40 различных подходов к этой задаче.
Интересно, что практически все они не используют в решении вершину А!
Математическая головоломка Лэнгла имеет громадное количество расширений и модификаций, благодаря этому она получила второе название "задача о случайных углах Лэнгли":
Оказалось, что поставленная геометрическая головоломка в похожем виде уже когда-то появлялась на практике, а именно в геодезии. Астроном Питер Андреас Хансен (1795-1874), работая над геодезической съемкой Дании, сталкивался с решением следующей задачи:
Существуют две известные точки A и B и две неизвестные точки P1 и P2. Из P 1 и P 2 наблюдатель измеряет углы, образованные линиями визирования для каждой из трех других точек. Задача состоит в том, чтобы найти позиции P1 и P2. К решению этой задачи мы приступим в одном и следующих материалов. Спасибо за внимание!
- Спасибо за внимание!