Публикую окончание статьи автора методики, написанной специально для канала Стив Май на Дзене. В первых двух частях говорилось о том, как именно происходит отказ ребёнка от такого естественного процесса, как думание. И вот ответ на вопрос "что делать?" на примере именно геометрии.
Что с этим делать?
1. Дать определение, например, такое: «Доказать – значить получить тот факт, который требуется, правильно применяя только теоремы, определения и аксиомы». В этом тексте требуют пояснения слова «факт», «теорема», «определение», «аксиома», «получить», «применяя», «правильно». Факт, теорема, аксиома и определение отрабатываются через понятия «высказывание» - фраза, про которую имеет смысл спросить верно оно или нет. Факт – простое высказывание, теорема, определение, аксиома – сложное высказывание (по аналогии с простыми и сложносочиненными предложениями в русском языке). Разбирается структура и СМЫСЛ каждого из них. «Применить теорему (определение)» – тоже высказывание сложной структуры, которую нужно разобрать. «Правильно» - означает, что есть правила, которые четко должны быть сформулированы. «Получить» не означает «получить по почте», а получить истинность нужного факта в последнем высказывании «применение теоремы». Все это вполне реально проделать с семиклассниками.
2. Не проводить доказательства первых теорем на уроках, а тем более не заставлять их заучивать, даже если ребенку кажется, что он все понял. Просто сказать, что они есть, но к их доказательствам вернемся позднее, и причины такого пропуска тоже будут понятны позднее.
3. Достаточно подробно работать с каждым типом высказываний. Например, нарисовать чертеж, и ребенок должен будет выписать все факты, которые он увидел на чертеже. Обычно дети видят мало фактов, только те, которые бросаются в глаза. Поэтому имеет смысл заготовить список наиболее распространенных фактов (штук 15 для начала) и дать задание «пройтись» по этому списку и выписать то, что есть на чертеже. Причем, например, в списке есть факт равенства углов, и надо написать не перечисление равных углов, а именно несколько фактов равенства (каждой пары углов). Достаточно большое количество теорем перевести в структурную форму:
Затем так же поработать с определениями:
С аксиомами работать не нужно, так как можно сказать детям, что их применяют в тех типах доказательств, которые мы пока рассматривать не будем.
4. Доказательство проводить через запись в структурной форме высказывания «применить теорему, определение»:
При этом рассказать правила, например, в скобочке «Откуда взят» может быть написано только «из условия», тогда этот факт должен быть в «дано», из «доказанного», тогда этот факт должен быть получен в вышестоящей структуре, «из дополнительного построения», тогда перед доказательством оно должно быть описано по соответствующим правилам. Я считаю, что еще можно сделать пункт «из чертежа», но при этом должно быть сказано, что из чертежа берется только ограниченный список фактов (топологические факты), которые в чертеж попали из условия. Просто часть условия мы записали в «дано», а часть ушло непосредственно в чертеж. Такими фактами будут, например, «<A и <B - вертикальные», этот факт появился в чертеже, например, из слов «отрезки пересекаются». Лучше дать полный перечень фактов, которые можно брать из чертежа и перечень тех, которые нельзя.
5. Сначала давать задачи, в которых используется небольшое количество структур применения и не используются «алгебраические теоремы», например, свойство транзитивности равенств: «если a=b и b=c, то a=c». Это задачи № 93, 94, 95, 96, 97, 106, 111, 118, 120, 122, 123, 125, 129, 138, 142, 172. В них достаточно только геометрических теорем и в решении получается от 1 до 8-9 структур. Такого количества задач вполне достаточно, чтобы освоить идею и правила доказательства. Если нужно научить ребенка правильно самостоятельно решать задачи, то, дойдя до 97 задачи нужно поступить так, как вкратце описано в пункте 7. Потом можно добавлять задачи с алгебраическими теоремами.
6. Когда дойдет до задач с большим количеством структур, то уже учить писать доказательство словами. Для этого можно сначала дать задание готовое доказательство из учебника какой-нибудь теоремы записать в структурной форме, а затем попытаться перевести свое доказательство из структурной формы в словесную без потери смыслов и правил. Для такой работы хороши доказательства равенства углов равнобедренного треугольника (там, кстати можно и объяснить, что такое дополнительное построение, правила, по которым оно делается и моменты, когда его необходимо сделать, ведь ребенок уткнется в то, что факт биссектрисы ему непонятно откуда взялся). Так же можно взять теорему свойство биссектрисы равнобедренного треугольника, проведенного к основанию. Обычно двух теорем бывает достаточно для того, чтобы ухватить принцип.
7. Первых пяти пунктов хватит, чтобы пришло верное понимание процесса и правил доказательства. Однако, чтобы доказывать самостоятельно, нужно научить детей решать задачи не «с конца», а «с начала». Обычно, объясняя решение любой задачи учитель говорит, примерно следующее: «Смотрим, что нам нужно получить? Задаемся вопросом: что нам нужно для этого? Нужно то-то и то-то. Что нам нужно, чтобы получить то-то и то-то? Нужно это и это. И так «до верха». Но так можно только объяснять уже решенную задачу. При решении незнакомой задачи такой путь ведет в разветвленные лабиринты, в которых можно плутать до бесконечности. Например, если нам нужно получить равенство треугольников, то мы можем воспользоваться тремя признаками. Причем, первый и второй можно применить в 3 вариантах, итого 7 вариантов. Если ни один из них сразу не проходит (какие-то факты придется доказывать, а это тоже можно доказать разными вариантами), то вариативность резко возрастает. На следующей ступени еще больше.
Решение задачи «с начала» - последовательное применение всех теорем и определений, какие возможно, для получения «поля» доказанных истинных фактов, среди которых оказывается тот, который нужен. Понятно, что в сложных задачах идет и процесс снизу, и процесс сверху для решения, но важно, чтобы дети вообще освоили процесс «с начала». 97 задача для этого подходит очень хорошо. Во-первых, она решается на первых 3 теоремах, без определений, во-вторых, для осуществления такого подхода ребенку нужно всего 2 раза пройти круг первых четырех теорем (свойство смежных углов, свойство вертикальных углов, свойство равных треугольников, первый признак). Ребенку предлагается применять все эти теоремы подряд столько раз, сколько это можно. Например, свойство смежных – 4 раза, вертикальных 2 раза, свойство равных треугольников на первом круге – ни разу, первый признак – 2 раза). На втором круге: свойство смежных – ни разу, свойство вертикальных- ни разу, свойство равных треугольников – 2 раза, первый признак – 2 раза. После этого ребенок видит (или не замечает того), что среди доказанных появился нужный факт. Затем он просто отбрасывает все лишнее и записывает решение.
8. Необходимо соблюдать следующий принцип. Если вы хотите, чтобы у ребенка появилась системность, то сначала нужно создать ее каркас, а потом наполнять ее всякими нюансами и исключениями. Приведем аналогию из русского языка. Вы хотите объяснить ребенку, что такое корень слова. И определяете его как неизменяемую часть слова. Даете ему задание найти однокоренные слова из списка. В этом списке не должно быть слов «день», дневник», «полуденный» - в этих словах один корень, но он в написании разный. Вам тогда придется объяснять причины этих различий, что сильно запутает ребенка. Вы подберете слова, в которых корень точно не меняется: лес, лесной и прочее. Кстати, большинство ходовых слов как раз подвержены изменениям в корнях из-за частого употребления и облегчения произношения. Точно так же тщательно нужно отбирать списки фактов, теорем, задач на доказательства и прочее, чтобы они до поры до времени не имели исключений, а позволили создать систему. Потом можно расширять ее всякими тонкостями.
Комментарий
Раздел "что делать", как всегда, получается очень большой, и всё равно не охватывает всего.
Ещё раз скажу, что все эти рекомендации я проверил на практике с самыми реальными детьми, в настоящей школе. Получается далеко не всё. Очень тяжело детей переучить на самостоятельное думанье. Некоторые так и сидят в ожидании от меня готового ответа на мой же вопрос (или задание). Хотя, чертежи рисовать в конечном итоге учатся все без исключений (даже "ЗПР" и "СДВГ").
Чем дальше в лес, тем дольше вылазить. С каждым этапом, с каждым ребёнком открывается огромное количество новых нюансов. Нужно быть очень наблюдательным, чтобы не упускать важного.
И в любом случае, это всё требует колоссального терпения от учителя.
Кстати сказать, номера задач, порядок теорем и пр. взяты из учебника Атанасяна "Геометрия 7, 8, 9".