Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Бросание монетки - это, несомненно, настоящий фундамент теории вероятностей. Каждый из нас с уверенностью может сказать, что орёл или решка выпадает с равной вероятностью.
Однако команда из трех математиков доказала, что это предположение неверно! Любая монета, подброшенная достаточно и высоко и пойманная в воздухе (вместо того, чтобы упасть на землю) имеет примерно 51-процентный шанс приземлиться обращенной наверх стороной.
Можно подумать, что математики уповали на некоторое "неправильное" распределение веса монетки или ассиметрию формы, но нет! В их опытах монета идеально симметрична!
Перси Диаконис, Сьюзан Холмс из Стэнфордского университета вместе с Ричардом Монтгомери из Калифорнийского университета в Санта-Крузе опубликовали это открытие в 2007 году.
При подбрасывании монеты человеком есть две крайности, благодаря которым можно манипулировать вероятностью
Во-первых, если вы подбросите монету так же, как пиццайоло подбрасывает тесто для пиццы — приведя ее в движение вокруг своей нормальной оси, а не по диаметру, - тогда монета никогда не перевернется, и вы получите орел в 100 процентах случаев.
Во-вторых, Вы можете подбросить монету очень слабо, так что она поворачивается только на пол-оборота перед приземлением. Тогда монета всегда будет падать противоположной стороной вверх, и поэтому последовательность будет идти орел-решка-орел-решка вечно. Несмотря на то, что процент выпадения орлов составляет ровно 50 процентов, эти броски далеки от случайности.
Однажды Диаконис попросил своих учеников подбросить монету по 300 раз каждому, создав таким образом таблицу из 10 000 якобы случайных подбрасываний монет. Увы, говорит Диаконис, “результаты были очень шаблонными. Причина заключалась в том, что студентам стало скучно”. (
Обе этих крайностей оказываются очень важными для математики подбрасывания монет. Чтобы обеспечить чистоту эксперимента нужно задать произвольную ось вращения и дать монете вращаться значительное (но тоже случайное) количество времени или же значительно увеличивать количество оборотов за короткий промежуток времени.
Например, исследователи до Диакониса ориентировались на показатель 36-40 раз в секунду
Как показали математики, вращение монеты - это полностью детерминированный процесс. Её движение определено с момента подбрасывания до момента падения!
Для неподготовленного наблюдателя поведение монеты выглядит как сложная комбинация вращения, кувырка и раскачивания, но для физика все эти виды движения можно суммировать в одном векторе - угловом моменте. Более того, вектор углового момента остается неизменным в течение всего времени, пока монета находится в воздухе.
Однако самое важное для результата подбрасывания монеты - это не ориентация углового момента, а ориентация вектора нормали монеты. Если монета поймана с вектором нормали, направленным в любую точку верхней полусферы, это будет интерпретировано как бросок “Орла”. Если вектор нормали указывает на нижнюю полусферу, бросок будет записан как “Решка”.
Вектор нормали и вектор углового момента различны, но они связаны исключительно простым способом. Угол между ними, обозначаемый ψ, остается постоянным
В общем случае вектор нормали будет описывать окружность с центром в точке M и радиусом в ψ радиан, пока монета находится в воздухе. Если монета изначально расположена идеально горизонтально (так что n идеально вертикально), то n неизбежно проведет больше времени в верхнем полушарии, чем в нижнем. Если монета будет поймана в случайное время, то, следовательно, вероятность того, что она будет поймана с n в верхней полусфере, превысит 50 процентов.
Именно такую формулу вывели математики, и по ней видно, что вероятность уже отличается от 50%! Но на сколько эта формула подтверждается на практике, еще предстояло проверить. Для этого ученые создали устройство для подбрасывания монет,
Средняя вероятность отсутствия поворота составила 0,508, которую они округлили до 0,51, и это послужило основанием для утверждения, что реальные монеты имеют 51-процентный шанс упасть той же стороной вверх, с которой они начали.
Этот результат сопровождается рядом предостережений, ни одно из которых не меняет основного вывода о том, что подбрасывание монет предвзято. Во-первых, чрезвычайно важно поймать монету в воздухе и не дать ей упасть на землю. Как только он упадет на землю, другие факторы — такие как форма или распределение веса монеты — начинают играть определенную роль.
Во-вторых, 51% - это только идеальная оценка, когда монете позволено летать в течение длительного времени. Настоящие подбрасывания монет , как правило, длятся всего полсекунды или около того.
В-третьих, математики подсчитали, что нужно около четверти миллиона переворотов для подтверждения в случае опыта с человеком . Учитывая сложность даже получения выборки из 10 000 переворотов (помните скучающих студентов-математиков?), Диаконис не испытывает оптимизма в отношении шансов провести такой масштабный эксперимент.
- Спасибо за внимание!