«Зри в корень!» (Козьма Прутков)
Находить корни квадратного уравнения на ЕГЭ приходится чаще, чем решать уравнения других типов (после линейных уравнений, очевидно). И если уж браться за уравнение с параметром, то о квадратных уравнениях надо знать ВСЁ.
Вот типичное уравнение с параметром из ОБЗ ФИПИ:
Найти все значения a, при которых уравнение имеет 3 различных корня:
Поскольку в левой части уравнения есть выражение с радикалом, понятно, что придется обе части возводить в квадрат. Такое действие не является равносильным преобразованием, поэтому потом придётся проверять найденные корни подстановкой в исходное уравнение.
После возведения во вторую степень перенесём все члены из правой части уравнения в левую часть, приведём подобные члены и вынесем за скобки общий множитель, в результате получится уравнение (выведите самостоятельно):
<⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱
(режим ожидания, пока Вы получаете нужное выражение, после чего его можно будет сравнить с приведённым ниже)
⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱>
Такое уравнение позволяет записать три выражения для возможных корней, причём некоторые из них будут содержать параметр a.
Также работаем самостоятельно, совершенствуем навыки. Пробуем применить теорему Виета для нахождения корней; не могу сказать, что для данного конкретного уравнения она сильно упрощает преобразования, но во многих других случаях действительно помогает.
Тренируемся.
⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱
⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱
Итак, должна получиться такая система:
Теперь анализируем результат. По условию, корни должны быть различные между собой, значит, второй и третий корни не равны нулю, следовательно,
a ≠ -1 и a ≠ 1.
Также второй и третий корни не равны между собой; путём сравнения обнаруживаем, что это так и есть для любых значений a.
Очевидно, для параметра a пора определять множество значений. Для этого подставим найденные корни в исходное уравнение и посмотрим, что получится:
1) Подставляем x = 0, уравнение превращается в тождество, т.е. a здесь ни при чём (т.е. a может быть любым).
2) Подставляем x = -a-1:
Упрощаем:
⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱
⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱
Ясно, что полученное уравнение с модулем выполняется при условии:
3) Третий корень проверяется аналогично второму, при этом можно найти множество значений a, при которых выполняется исходное уравнение.
Окончательный ответ прошу сформировать и для самопроверки указать Вашу версию в комментариях - я проверю и сообщу, правильно ли. Можно также отправить ответ мне на почту, которая находится здесь. Я обязательно отвечу.
По такой методике я занимаюсь с моими учениками, шаг за шагом движемся к правильному ответу, формируя навыки решения задач ЕГЭ.
«Опыт - сын ошибок трудных», - как сказал один мудрец.
Если Вам понравилась статья, поставьте лайк и подпишитесь на канал, это поможет и другим пользователям получить полезную информацию, спасибо!