Приветствую Вас!
Признаки делимости? Да, ладно.. Тема, вроде, элементарная, но, как оказывается, немногие ей владеют, что затрудняет решение некоторых задач, например, сокращение дробей. В ЕГЭ базе и профиле, а также в ОГЭ, присутствуют некие задания с громоздкими формулами и "невероятными" числами.
Многие просто перемножают, затем делят. По итогу - ответ неверный. А если подойти к этим задачам со стороны элементарной математики, и просто посокращать? Так будет много проще, плюс правильно.
Но, чтобы суметь сократить, необходимо знать признаки делимости.
Начнем с двоечки и, по нарастающей.
Ну, признак делимости на два знают почти все: если какое либо число оканчивается четной цифрой, то это число делится на два. Чего же проще? Оговоримся сразу, что ноль также является четным числом.
Теперь о четверке. Почему перескочили тройку? Да потому что четверка, это таже самая двойка, только во второй степени, поэтому: если последние две цифры числа делятся на четыре, то и все число разделится на четыре, например:
Число 123456 разделится на 4? Да, т.к 56:4=14. А вот число 123458 на 4 не поделится без остатка, т.к. 58 не делится на 4 нацело. Уловили суть?
Теперь восьмерка. Она у нас двойка в третьей степени, соответственно, должны делиться на восемь последние три цифры числа. Данный признак используется не очень часто, но он просто необходим для решения задач из базы ЕГЭ. Ниже я приведу некоторые примеры.
Теперь троечка. Делится ли число 111111 на три? Как показывает практика многие, не задумываясь ответят - нет. Но это не так. признак делимости на три гласит: если сумма цифр какого-либо числа делится на три, то и всё число разделится на три. Сумма цифр данного числа 1+1+1+1+1+1=6. Шестерка делится на три, следовательно, и 111111 разделится на три.
Такой же признак делимости на девятку: если сумма цифр разделится на 9, то и все число разделится на 9. Например: 78120. 7+8+1+2+0=18. 18 делится на 9, значит, и данное число разделится на 9.
Теперь пятерка. Ну, здесь также всем известный факт: если некое число оканчивается нулем, либо пятеркой, то и число поделится на 5. А на 25 как? Та же логика, что и с двойкой. 25 - это пять во второй степени, следовательно число разделится на 25, если будет оканчиваться на две последние цифры, делящиеся на 25.
А т.к. 25*1=25, 25*2=50, 25*3=75, 24*4=100, то любое число оканчивающееся на 25, 50, 75 или 00, разделится на 25.
Ну, и последний признак, на котором требуется заострить внимание - признак делимости на 11. Например, число 736428. Чтобы узнать делится ли оно на 11, требуется сложить цифры, стоящие на четных местах, затем сложить цифры, стоящие на нечетных и полученные суммы вычесть друг из друга: (7+6+2)-(3+4+8)=0. Ноль делится на 11, следовательно и число разделится на 11.
Причем, не важно, какую сумму из какой вы будете вычитать. Отрицательная 11 также делится на 11. К примеру: 52910. (2+1)-(5+9+0)=-11. Следовательно, 52910 разделится на 11.
А теперь, собственно, разберем, для каких более сложных вещей требуется вся данная информация. Вот задание:
Понимаем, что 24=3*8, следовательно, работает сразу два признака. Начнем с признака на 8: должны три последние цифры делиться на 8. Т.к. требуемое число должно состоять только из нулей и единиц, то получается, что оно должно оканчиваться тремя нулями, ведь ни 100, ни 110, 111, 101, 011 на 8 не делится, а вот 000 - вполне.
Ну, и применяя признак делимости на три, получаем шестизначное число: 111000. Круто, не прада ли! Даже думать не надо.
Теперь такое:
Понятно, что цифры в данном числе будут небольшие, ведь произведение их равно 12. Долго рассуждать не будем, и возьмем сразу циферки 1, 2, 3, 2. Для одного из условий они нам подходят: 1*2*3*2=12. Осталось их поставить для признака делимости на 11. Кстати, они и стоят как надо. Проверим: 1232. (1+3)-(2+2)=0. Всё как надо. Вуаля!
Следующее:
12=3*4. Опять работает два признака. Берем сначала признак на 4. Пятерка, стоящая в конце, отваливается тут же. Получается последние две цифры - 34, но это не делится на 4, значит, вычеркиваем и тройку. На выходе - 24, что нас вполне устраивает, т.к. 24 делится на 4. Осталось вычеркнуть всего одну циферку.
Поскладываем оставшееся: 3+5+2+4+2+4=20. Нас интересует сумма цифр, делящаяся на три. Можно вычеркнуть двойку(получим 18), причем, как одну, так и другую. Сработают и там и там оба признака, а можно и пятерку(получим 15). Это уже как вам нравится.
Ну, и еще один примерчик:
Помните, да, что у нас делится на 25? То, что оканчивается на 25, 50, 75, 00. Из всех этих вариантов нас только устраивает, по условию, 75. Ну, а первые две вставьте любые нечетные, чтоб не повторялись. Господи, как всё просто!
Если в вашем задании нужно делить на такие составные числа как 6, 15, 45 итд, просто разложите их на множители и воспользуйтесь элементарными признаками деления.
Благодарю за внимание..
