Для большинства людей понятия “математика” и “логика” практически неразличимы. Но первая попытка свести арифметику к логики была выполнена Готлобом Фреге на рубеже 19-20 века. Он нашел изящное решение для определения числа без привязки к эмпирическому опыту, а только с использованием логических функций. Человечеству потребовались сотни лет, чтобы прийти к понятию нуля. Как числа обозначающего отсутствие. Ведь, если чего-то нет, как про это думать.
Фреге рассматривает функцию “x ≠ x”. Ее множество определения содержит все элементы, которые не равны сами себе. Но по логическому закону тождества предмет тождественен себе. Таким образом эта функция порождает пустой класс. Классы, для которых можно установить взаимнооднозначное соответствие с пустым классом, будут равночисленны ему. Тогда число ноль будет общим свойством всех таких классов.
С помощью пустого класса Фреге строит весь натуральный ряд. Так 1 соответствует классу, в котором содержится пустой класс. 2 - содержит пустой класс и класс, в котором содержится пустой класс. И т.д.
Несмотря не изящество теории классов Фреге, ему не удалось избежать противоречий. Они подробно описаны философом, логиком и математиком Бертраном Расселом в статье “Математическая логика, основанная на теории типов”. Вот один из них.
Парадокс Рассела или брадобрей
Рассмотрим класс Ŵ , который содержит все классы не являющиеся элементами самих себя. Принадлежит ли Ŵ сам себе?
Если Ŵ ∈ Ŵ, тогда он является своим элементом, следовательно по определению Ŵ не принадлежит сам себе.
Если Ŵ ∉ Ŵ, то по определению Ŵ он должен содержать себя в качестве элемента.
Таким образом, какое бы утверждение не приняли, оно приводит к противоречию. Чтобы разрешить этот парадокс Рассел вводит понятие типа. Элементы первого типа это единичные самостоятельные предметы - индивиды. Например, дети в возрасте от 7 до 17 лет. Ко второму типу принадлежат классы, составленные из индивидов. Например, школьные классы. На следующем уровне в классы объединяются классы второго типа. Например, все классы в одной школе. И т.д.
В теории типов нельзя объединять в классы элементы принадлежащие разным типам. То есть объединить в один класс детей 8 лет и 11–ые класс не получится. А следовательно никакой класс не может быть элементом самого себя.
Популярная формулировка этого парадокса “Если сельский цирюльник стрижет только тех жителей, которые не стригутся сами, стрижет ли он сам себя?”.
Если он стрижется сам, значит не имеет права себя стричь. А если он не стрижется сам, значит должен себя стричь.
Парадоксы удивительная вещь. Человеческий мозг не терпит противоречий. Когда он сталкивается с ними, старается как можно быстрее отмахнуться. Ведь противоречия заставляют винтики в голове начать шевелится. Попробуйте несколько минут удерживать в голове эти две противоречивые мысли: “Если он стрижется сам, значит не имеет права себя стричь. А если он не стрижется сам, значит должен себя стричь. “
Как ощущения?