Использование метода рационализации при решении логарифмического неравенства.
Настоящая статья предназначена для учеников, которые хорошо усвоили программу 10 класса средней школы и понимают, как решать простейшие логарифмические неравенства, в том числе неравенства с переменной в основании логарифма.
В задачах ЕГЭ под номером 14 после упрощения заданного в условии неравенства часто может получаться то, что в общем виде выглядит примерно так:
где f(x) и g(x) - вещественные функции, A - какое-то число, обычно 0 или 1.
И дальше всё по учебнику, используется известный метод расщепления, т.е. составляется и решается система двух неравенств, потому что основание может быть f(x)>1 или f(x)<1. Главное - не ошибиться в преобразованиях.
Но на ЕГЭ не всегда бывает так просто. Рассмотрим следующий пример, решить неравенство:
Дорогой ученик, предлагаю сначала подумать, какой способ решения ты выбрал бы, встретив такую задачу на экзамене. Решение найти, конечно, можно. Потом уже ознакомиться с моими замечаниями, приведёнными ниже.
⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱⏱
Следует провести небольшое преобразование, приведя неравенство к виду:
Сейчас мы выработаем правило, которое здорово будет помогать при решении похожих задач.
Если логарифмическая функция сравнивается с нулём,
то в общем случае на ОДЗ решение может быть найдено так:
Поскольку обе функции f(x)-1 и g(x)-1 имеют одинаковые знаки на ОДЗ, то приведённую выше систему можно заменить равносильным компактным выражением:
(f(x)-1)(g(x)-1)>0.
Таким образом, для выражения с логарифмической функцией произведена рационализация: был логарифм, а стало произведение двучленов, в котором каждый сомножитель - это функция f или g, уменьшенная на единицу. Замечание: если в неравенстве с логарифмом знак <0, то и произведение двучленов также <0, т.е. знак неравенства сохраняется.
Теперь следует применить выработанное правило к нашей ФИПИ-шной задаче, получится:
или
Теперь ответ получить не сложно, не забывая про ОДЗ, можно его указать в комментариях - я проверю и сообщу, правильный ли. Можно также отправить ответ мне на почту, которую можно найти здесь.
Готовимся к ЕГЭ! - означает: расширяем кругозор, получаем дополнительное образование. Это необходимо для того, чтобы хорошо подготовиться к предстоящему испытанию.
В качестве тренинга предлагаю решить следующее неравенство, которое было на ЕГЭ в году, по-моему, 2013:
Решение этой задачи приведу, когда буду публиковать следующий пост.
Если вам понравилась статья, поставьте лайк и подпишитесь на канал, это поможет и другим пользователям получить полезную информацию, спасибо!