Известно выражение, приписываемое Стефану Банаху, что
Математик — это тот, кто умеет находить аналогии между утверждениями; лучше математик — тот, кто может увидеть аналогии между доказательствами; самый лучший математик — тот, кто замечает аналогии между теориями; но можно представить себе и но можно представить себе и такого, кто между аналогиями видит аналогии.
A mathematician is a person who can find analogies between theorems; a better mathematician is one who can see analogies between proofs and the best mathematician can notice analogies between theories. One can imagine that the ultimate mathematician is one who can see analogies between analogies.
Довольно легко можно себе представить аналогию между утверждениями (теоремами). Например, не существует самого большого натурального числа и, аналогично, не существует самого большого простого числа.
Другой пример аналогий между утверждениями из геометрии и линейной алгебры. Две прямые пересекаются в одной точке, либо они параллельны, либо они совпадают. При этом аналогией с прямыми будет система двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Такая система либо имеет единственное решение (точка пересечения), либо не имеет решений (прямые параллельны), либо имеет бесконечное число решений (прямые совпадают).
На втором уровне, аналогии между доказательствами могут появиться, если утверждения аналогичны. Например, доказательства отсутствия самого большого натурального числа и самого большого простого числа выполняются, в целом аналогично - "от противного". Но, гораздо интереснее, если сами утверждения совсем не похожи, например, теоремы из теории чисел и геометрии, а в доказательствах проявляются аналогии.
Третий уровень, аналогий между теориями, по-видимому в современной математике формализован в виде теории категорий, которая в настоящее время используется практически во всех областях математики. Многие конструкции новых математических объектов, одинаково проявляющиеся в нескольких контекстах, удобно выражаются и унифицируются в терминах категорий. Таким образом, Банах предчувствовал появления теории категорий на третьем уровне "математического таланта" в своем высказывании. Ведь сама теория категорий появилась уже после смерти Банаха, и, возможно, частично была мотивирована тем, что Банах сделал с линейными пространствами.
Но вот что такое аналогия между аналогиями, причем не сводящаяся в случаю аналогии между теориями, я так себе и не смог представить. И как показал поиск по профессиональным форумам, не только я. В целом, народ сходится на мысли, что аналогии между аналогиями это из области теории категорий. Однако, само понятие аналогии не является строгим математическим понятием, в отличии от категорных конструкций. Поэтому, вопрос о том, что же имел в виду Банах, остается для меня открытым. Если что-нибудь придумается, обещаю поделиться мыслями.
UPD. Как можно понятие аналогии определить? Аналогия это "параллелограмм" в "когнитивном пространстве"! То есть, когда какие-то объекты (понятия?) А и Б находятся в некотором отношении AБ, С и Д находятся в другом отношении СД, и при этом отношения "параллельны".
