Ряд, или, иначе, бесконечная сумма. Что такое сумма ряда, можно прочитать по ссылке. Достаточно прочитать лишь вводную часть статьи. Покажу здесь только картинку из этой вводной части:
Это представляет, что такое частичные суммы ряда.
Я лишь уточню, что такое «последовательность частичных сумм S_n имеет конечный предел S». Это означает, что какую бы точность мы не захотели, начиная с какого-то места, все значения S_n будут давать приближенное значение для S c нехудшей погрешностью. Или, как выражаются математики,
для любого (сколь угодно малого) положительного ε существует такой номер N, что |S_n – S| < ε для всех n > N.
Полезно заметить, что |S_n – S| есть ничто иное, как расстояние между числами S_n и S на числовой прямой.
Пример сходящегося ряда:
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...
(не хочется изображать общий член этого ряда куцыми средствами Дзена; надеюсь, закономерность, определяющая следующие члены ряда, ясна).
Его сумма равна 2. Предлагаю убедиться в этом экспериментально, посчитав и выписав около 10 частичных сумм:
S_1 = 1.0,
S_2 = 1.5,
S_3 = 1.75,
S_4 = 1.875,
S_5 = 1.9375,
S_6 = 1.96875,
S_7 = 1.984375,
S_8 = 1.9921875,
S_9 = 1.99609375,
S_10 = 1.998046875,
S_11 = 1.9990234375.
Пример ряда с бесконечной суммой:
1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + ...
Наряду с рядами с конечными и бесконечными суммами существуют ряды, суммы не имеющие. Поэтому, чтобы оперировать с суммой ряда как с числом, существование этой конечной суммы надо предварительно доказать.
В статье
непонимание этих основ привело к феерическим глупостям.
Мой отзыв об этом канале
А комментаторы статьи схлестнулись в эпической битве вокруг ряда
1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + ...
Одни утверждали, что его сумма равна 1/2, другие, что 0 или 1, "в зависимости от количества". Причем совершенно безапелляционно. По видимому, по принципу "кто громче крикнул, тот и прав".
Ничего хотя бы отдаленно напоминающего доказательство никто не приводил. И немудрено, ибо в действительности этот ряд суммы не имеет.
Далее я набросаю доказательство этого.
Последовательность частичных сумм имеет вид
1,
1 – 1 = 0,
1 – 1 + 1 = 1,
1 – 1 + 1 – 1 = 0,
и так далее. Значения 1 и 0 попеременно. Расстояние между этими значениями равно 1. Если взять желаемую точность меньше половины этого расстояния, скажем, ε = 1/4, то какое бы значение S мы не взяли, либо |0 – S| > 1/4, либо |1 – S| > 1/4. То есть S будет отстоять на расстояние, большее, чем 1/4, либо от S_n, либо от S_{n+1}. Поэтому S не может быть пределом частичных сумм, или, что то же, суммой рассматриваемого ряда.
Резюмируем: какое бы значение S мы не взяли, оно не может быть суммой рассматриваемого ряда.
Кстати, это хороший пример о необходимости доказательств для тех скептиков, которые считают, что из математики им нужен только определенный набор выведенных кем-то формул.
Так вот, математику уже затем учить следует, чтобы подобными глупостями не заниматься.