Приветствую Вас, уважаемые Читатели! Сегодня я хочу рассказать Вам о довольно интересной математической конструкции - функции вопросительного знака ?(x). Эта зависимость была придумана в 1904 году известным знатоком теории чисел - немецким математиком Германом Минковским.
Минковский занимался одной из обычной для теории чисел задачей - попыткой построить функцию, которая непрерывно отображает рациональные числа на отрезке [0,1] в двоичные рациональные на этом же отрезке.
Задача настолько типичная, что Герман после открытия не стал развивать исследование в этом направлении. Забегая вперед, функцию Минковского исследуют даже сейчас, и по неё есть множество вопросов
Двоичные рациональные числа представляют собой дроби, знаменатель которых представляет собой степень двойки:
Еще благодаря Кантору было известно, что между рациональными и двоичными рациональными числами, можно построить изоморфизм, соблюдающий порядок: т.е каждому элементу одного множества сопоставить элемент другого без "перемешивания".
Теорема Кантора об изоморфизме утверждает, что если два множества обладают линейным порядком, не имеют максимального или минимального элемента, и обладают свойством плотности (между любыми двумя найдется место для третьего числа),
то между такими множествами можно составить взаимно-однозначное соответствие (биекцию). Вопрос только в построении алгоритма! Именно такую задачу решил Герман Минковский. История умалчивает, почему математик стал использовать знак вопроса для обозначения функции, но начал он с вполне логичных значений на концах и середине интервала (явно задал их соответствие)
Дальнейшие вычисления привели его примерно к такой таблице:
Как видите, функция вопросительного знака не только имеет однозначное представление, но и сохраняет порядок, что явно видно в последней таблице. График функции Минковского представляет нечто похожее на дьявольскую лестницу Кантора:
Функции вопросительного знака присущ ряд замечательных не очевидных симметрий, она имеет фрактальный график и не смотря на непрерывность, имеет почти всюду нулевую производную, которая равна нулю в рациональных аргументах и бесконечности — в иррациональных.
В 1938 году французский математик Арно Данжуа (не зная об открытии Минковского) задают такую же функцию, но уже для всей числовой оси, включая иррациональные числа, опираясь на аппарат цепных дробей.
Каждое число можно представить в виде цепной дроби: для рациональных чисел она будет конечной, для иррациональной (например, для числа Фидия) - бесконечной.
По сути Минковский решил задачу для рациональных чисел, а Данжуа построил алгоритм еще и для иррациональных.
Давайте вычислим функцию Минковского для некоторого рационального числа, например, 7/4:
На бумаге удобно пользоваться чуть модифицированным относительно справочника подходом (показан во второй строчке, и, по сути, это та же формула, но в явном двоичном виде). А как же вычислить функцию вопросительного знака для иррациональных дробей?
Очевидно, нужно уметь считать непрерывные дроби для иррациональностей:
Теперь, воспользовавшись удобным двоичным представлением и формулой геометрической прогрессии со знаменателем, меньшим единицы, получим результат:
Обратите внимание на еще одно замечательное свойство функции вопросительного знака. Для квадратичных иррациональностей (вещественных корней двучленов с рациональными коэффициентами) функция Минковского в результате даёт не двоично-рациональное число.
В настоящее время ведутся исследования дял расширения функции Минковского на комплексные числа, у которых с порядком дела обстоят не так хорошо, как у вещественных. Спасибо за внимание!
