В шкафу стоят книги, которые нужно упаковать. Если их связать в пачки по 4, по 5 или по 6, то каждый раз останется одна лишняя, а если связывать по 7 книг в пачку, то лишних книг не останется. Каково число книг в шкафу, если известно, что в нем не более 400 книг?
Если перевести задачу на язык чисел, то нужно найти натуральное число, которое делится на семь. А при делении на 4, 5 или 6 даёт в остатке 1. Формализовать эту задачу можно в виде системы сравнений.
И остаётся только решить эту систему.
Хотя в данном случае есть вариант проще.
Так как остаток при делении на 4, 5 или 6 равен 1, то уменьшив число на единицу, получится число, которое делится на 4, 5 и 6.
Самое маленькое такое число - 60(4 · 5 · 3). Соответственно все числа, которые делятся на 60 будут удовлетворять этим условиям. С учетом того, что всего книг меньше 400 можно выписать все варианты.
120, 180, 240, 300, 360
Тогда число N может быть равно:
61, 121, 181, 241, 301, 361
Среди них находим то, которое делится на 7. Получаем единственное решение - 301. В общем случае таких чисел бесконечно много, их можно записать, как:
А в следующей задаче без решения системы сравнений уже не обойтись.
Найдите наименьшее натуральное число, которое при делении на 5 даёт в остатке 1, при делении на 7 даёт в остатке 2, при делении на 9, даёт в остатке 3, а при делении на 11 даёт в остатке 4.
Запишем в виде системы.
Аналогично решению системы уравнений, для решения системы сравнений используется метод подстановки.
Первое сравнение означает, что число N можно записать в виде:
Подставим во второе сравнение и решим его относительно a.
Теперь подставим это в третье сравнение, а потом в последнее.
Соответственно наименьшее число получится, если подставить вместо c число пять.
Выполним проверку:
О том, как решать сравнения можно посмотреть тут.