Уверен, каждый из вас сталкивался с задачами о лжецах и рыцарях, у этого типа задач есть и другие названия: лгуны и мудрецы, хитрецы и шпионы, жители Правдино и жители Лгуново и т. д. В общем, вариантов масса, а суть всегда одна: в задаче фигурируют 2 типа людей: один всё время врёт, а второй говорит только правду. Также существует разновидность этой задачи с третьим типом людей, которые могут как говорить правду, так и обманывать. Итак, теперь сами задачки. Разбор решений в конце статьи.
Задача №1
По подозрению в преступлении были задержаны три человека: Иванов, Смирнов и Попов. Один из них — почётный горожанин, второй — провинциальный чиновник, а третий — аферист. Во время следствия горожанин говорил только правду, аферист всё время лгал, а чиновник говорил и ложь, и правду.
Вот заявления, которые сделали подозреваемые:
- Иванов сообщил: "Я сделал это. Смирнов не виновен".
- Смирнов сказал: "Иванов не виноват, это сделал Попов".
- Попов заявил: "Я не виноват, виноват Иванов".
Определите кто есть кто, а так же кто виновен в преступлении?
Задача №2
Трус, Балбес и Бывалый оказались в одном маленьком городке N, но банк ограбил кто-то один из них. Полиция арестовала всех троих и провела допрос. Вот что заявили подозреваемые:
Трус:
- Я не брал денег
- В день кражи я уезжал из города N
- Банк ограбил Бывалый
Балбес:
- Банк ограбил Бывалый
- Если бы я ограбил банк, я бы не сознался
- У меня и так много денег
Бывалый:
- Я не грабил банк
- Я давно ищу хороший банк
- Трус уезжал из города N
В ходе расследования выяснилось, что каждый из троицы сделал 1 ложное заявление и 2 правдивых. Так кто же ограбил банк?
Решения обеих задач будут под этой картинкой.
Решение задачи №1
Проще всего в такой задаче определить почётного горожанина, поэтому выдвинем три предположения и проверим каждое по порядку.
- Пусть горожанин — это Иванов. В этом случае оба его высказывания правдивы, но и оба высказывания Попова так же получаются правдивыми. Мы получили противоречие, значит Иванов не является горожанином.
- Пусть горожанин — это Попов. Тогда его высказывания истинны, впрочем как и оба высказывания Иванова. Снова получили противоречие.
Значит, Смирнов — почётный горожанин. Теперь определим кто есть кто среди двух оставшихся. Если Смирнов сказал правду, то Попов оба раза солгал, что соответствует поведению афериста. Первое заявление Иванова ложно, а второе истинно, что соответствует описанию чиновника.
Таким образом, Смирнов — горожанин, Иванов — чиновник, а Попов — аферист, совершивший преступление.
Решение задачи №2
Задачи такого типа обычно решаются методом перебора с исключением вариантов, противоречащих условиям задачи.
Возможны три варианта, кто ограбил банк: Трус, Балбес, Бывалый. Рассмотрим каждый вариант по порядку.
- Пусть банк ограбил Трус. Тогда первое и третье высказывания Труса ложны, но по условию задачи неверным является только одно из высказываний, значит имеем однозначный вывод: Трус не виноват в ограблении.
- Пусть банк ограбил Балбес. Тогда первое высказывание ложно, следовательно два оставшихся высказывания должны быть правдивыми. Проверим это. Второе заявление является правдой, т. к. Балбес ограбил банк и ни в одном из трех заявлений Балбес не признаётся в содеянном. Третье заявление может быть как ложным, так и правдивым, никто не знает, сколько у кого денег. Значит есть вероятность, что банк ограбил Балбес.
- Пусть банк ограбил Бывалый. Тогда первое высказывание ложно, а потому должны быть верны второе и третье. Второе высказывание вообще не дает никакой информации, оно может быть как ложным, так и правдивым. Пока что пропустим его. Проверим третье высказывание Бывалого, но для этого нам нужно обратиться к заявлениям Труса. Если банк ограбил Бывалый, то высказывания Труса №1 и №2 правдивы, следовательно №3 — ложно, и выходит, что на самом деле Трус не уезжал из города. Тогда третье заявление Бывалого "Трус уезжал из города N" ложно. Вне зависимости от того чем является 2-ое утверждение Бывалого: правдой или ложью, мы уже имеем 2 ложных утверждения, что противоречит условиям задачи. Значит Бывалый не грабил банк.
Таким образом, мы получаем, что банк ограбил Балбес, а его заявление о том, что у него итак много денег является правдой. Но, видимо, денег много не бывает, и Балбес решил их приумножить 😆