Одна из старых и известных задач теории вероятностей, которая вызывает споры и недоумения после обнародования правильного ответа. Не является парадоксом на самом деле, т. к. не содержит противоречий, но называется парадоксом из-за неожиданного решения.
Формулировка
Формулировка задачи звучит как описание американской телеигры "Let's make a deal!" ("Давай заключим сделку! ") и названа в честь ее ведущего:
Вопрос задачи: увеличится ли вероятность вашего выигрыша, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор?
Дополнительные условия, чтобы избежать разногласий:
- автомобиль может скрываться за любой из дверей, вероятности этих событий одинаковы;
- в случае, если игрок угадал дверь с автомобилем на первом шаге, ведущий выбирает любую из двух оставшихся дверей с одинаковой вероятностью.
- если игрок получил козу, то он проиграл =D
Итак, вы уже поразмыслили над задачкой? Не спешите листать вниз, прочитать ответ вы всегда успеете.
На первом этапе вероятность угадать за какой из дверей скрывается четырёхколёсный приз составляет 33,(3)%. После открытия одной из дверей, шансы на победу не меняются и остаются по-прежнему 33,(3)%, потому что изначально дверей было 3 и мы не должны об этом забывать. Если вам показалось, что это утверждение верно, то поздравляю вас, вы ошиблись.
Начнём рассуждения заново. После того, как ведущий открыл одну дверь с козой, у вас на выбор остались две двери: дверь с призом и дверь с козой. Вероятность выигрыша теперь 50 на 50. Но раз вы уже выбрали одну дверь из двух, то вероятность отгадать так и так будет 50%. Нет никакого смысла в том, чтобы менять выбор. Так вы рассуждали? Отлично. Поздравляю вас, вы тоже ошиблись. 😆
На самом деле, вам как игроку определённо стоит изменить ваш выбор, ибо вероятность выигрыша в таком случае будет равна 66,(6)%, а не 33,(3)% или 50% как может показаться в начале.
Всегда меняйте выбранную дверь! Разберём почему это так.
Важно понять вот какой момент: если вы меняете выбор двери после действий ведущего, то вы выигрываете, если изначально выбрали проигрышную дверь. А вероятность этого на первом этапе равна 66,(6) %, так как выбрать проигрышную дверь можно 2 способами из 3-х.
Если на словах непонятно, то окей, у меня есть вариант объяснений с иллюстрациями.
Это вы и Монти. Монти видит знает, где приз, а вы — нет.
Далее у нас есть три варианта: вы можете выбрать первую, вторую или третью дверь. Пусть каждое из этих событий произойдёт в своей "вселенной": Желтой, Оранжевой и Синей. В Желтой вселенной вы удачно выбрали дверь (за ней стоит автомобиль), в Оранжевой и Синей — вы ошиблись.
Разберём, как развернутся события в каждой из вселенной.
В Жёлтой вселенной Монти открывает случайную дверь из двух оставшихся, т.к. за обеими дверями стоят козы и собственно нет разницы, какую он откроет. Теперь следующий этап, ведущий предлагает изменить выбор. Вы выиграете, если будете настаивать на своем мнении и проиграете, если измените выбор (см. иллюстрацию ниже)
В Оранжевой вселенной у Монти нет остались две разные двери, одна с козой, одна с автомобилем. По условиям он должен открыть дверь с козой, он так и делает. В результате получается всё наоборот: вы выигрываете если слушаетесь ведущего и проигрываете, если остаётесь при своём мнении.
И вот самое интересное! Всё зависит от Синей вселенной! А в ней дела обстоят так же как и в Оранжевой: вы выигрываете при смене выбора и проигрываете, если не меняете выбор.
Итого мы имеем: если вы меняете свой выбор, то выигрываете 2 раза из 3-х, а если не меняете выбор, то только 1 раз из 3-х.
Ниже я помещу ту же схему целиком, мне кажется, так она нагляднее.
Из 6 возможных исходов в трех мы меняем выбор, а в трех — не меняем. Рассматривая только те исходы, когда мы изменили выбор, мы видим, что мы выиграли 2 раза, а проиграли 1 раз. Таким образом вероятность выигрыша с 33.(3)% повышается до 66.(6)% Именно поэтому при данных правилах игры игроку нужно принимать предложение ведущего, чтобы повысить свои шансы.
Ну что, теперь все всё поняли? 😀
