Приветствую Вас, уважаемые Читатели! В одной из предыдущих статей, в которой мы разгадывали математический ребус, использовалась одна занимательная формула для числа π, которая носит имя британского математика Джона Мэчина (1686-1751):
Сегодня я хочу показать как она выводится, и какого результата математики достигли, всячески её модернизируя. Вывод формулы основан на известном выражении, описывающем сумму арктангенсов:
Т.к. придется иметь дело с дробями её удобно сразу перевести в другой вид:
Джон Мэчин сначала применил эту формулу для такого угла:
Затем удвоил его:
Ну а затем вычел из этого угла π/4:
После переноса слагаемых можно получить исходную формулу. Но в чём же магия? Понятно, что во всей этой фантасмагории ключевым является именно угол 45 градусов, тангенс которого имеет очень приятное значение.
Рассмотрим, комплексное число, у которого мнимая и действительная часть (a и b) равны. Это значит, что угол, который образует радиус-вектор с вещественной осью - это те самые 45 градусов.
Теперь наша задача взять два комплексных числа и умножить их таким образом, чтобы в итоге получилось комплексное число (модуль его не важен), с аргументом в 45 градусов:
Выражение под арктангенсом равно 1, а значит мы получаем итоговую формулу, связывающую комплексные и мнимые части множителей. Подбирая значения можно получить, например, формулу Эйлера:
Однако в формуле Мэчина перед первым из слагаемых стоит множитель 4. Известно, что при умножении комплексных чисел их аргументы складываются, а значит для вывода формулы Мэчина мы возвели в 4 степень комплексное число z=5+i, а затем комплексное число с полученным аргументом умножили на число 239-i.
Для лучшего понимания можем вывести формулу Германа:
Графически это можно представить так:
Взяли комплексное число (2+i), возвели его в квадрат, а потом умножили на комплексное число (7-i). Не обращая внимание на модули, складываем аргументы (на втором шаге вычитаем, пользуясь нечетностью арктангенса) и получаем итоговые 45 градусов!
На данный момент существует огромное количество формул, выведенных по аналогии, в которых нет ограничений на степени и значения числителей ( мы, как видно, использовали только единицу). Рекордсменом по вычислению знаков числа π являются формулы:
С их помощью (использовались сразу две для сравнения результатов) в 2002 году на суперкомпьютере Токийского университета удалось вычислить 1 241 100 000 000 знаков числа π. Спасибо за внимание!