Приветствую Вас!
Ученикам старших классов, а так же студентам начальных курсов технических ВУЗов иногда требуется решать уравнения, либо неравенства, содержащие выражения высших степеней. Обычно, особенно в школе, предлагают деление многочлена на одночлен в столбик. Что ж, как вариант, это вполне себе работающий метод. Только он громоздкий. А можно поступить проще и быстрее.
Для этого можно применить схему Горнера. Она записывается с помощью простой таблицы, и для ее заполнения требуются элементарные подсчеты.
Итак, давайте разбираться, а для этого рассмотрим оба варианта. Начнем с деления в столбик. Допустим, имеется многочлен пятой степени и нужно разложить его на множители.
Для этого потребуется определить хотя бы один его корень, т.е. то значение икс, при котором данный многочлен обратится в ноль.
Поиск целочисленных корней, если таковые имеются, а мы обсуждаем именно их наличие, происходит через делители свободного члена данного выражения.
То есть: свободный член у нас здесь -2. Делители числа -2 это: -1; 1; 2; -2. Теперь, нужно один из делителей подставить под икс в данное выражение и получить ноль.
Не забываем, что те числа, при подстановке которых, выражение обращается в ноль и называются корнями.
Конечно же, удобнее всего подставить единичку. Расчеты приводить не буду. Каждому реально посчитать и увидеть, что получается ноль. Отлично, нам подошел первый выбранный нами делитель. Так бывает не всегда, поэтому, если ноль не получили, подставляем следующий и следующий, пока не получим ноль.
Как известно, любой многочлен раскладывается на множители таким образом: (х-х1)(х-х2)(х-х3)... , где х1, х2, х3,... корни данного многочлена.
Так как мы определили, что единица является корнем, то мы поделим наш многочлен на (х-1):
Разделили. Получили многочлен четвертой степени. Далее, мы вновь определяем корень по свободному члену и делим. Получаем многочлен третьей степени, находим корень и делим. И так делаем до тех пор, пока не доберемся до квадратного, который решается через дискриминант.
Что ж, для тех, кто не ищет легких путей, можно делать и так. Здесь, конечно, может возникнуть путаница при вычитании, т.к масса всяких минусов и плюсов, но мы же никуда не торопимся, поэтому можно пересчитать и еще раз.
А можно составить таблицу Горнера и заморочиться с этой темой меньше. Сначала запишу, затем, объясню:
Вот такая незамысловатая табличка. В верхней строке выписаны коэффициенты (со своими знаками!) нашего многочлена, снизу слева наш корень.
Теперь всё это просчитаем. Первый коэффициент( это 1) просто сносится, причем вне зависимости единица это, или какое другое число. Далее, умножаем наш корень на эту, снесенную единицу, и прибавляем второй коэффициент. Полученный результат заносим в таблицу, умножаем его на наш корень, складываем со следующим коэффициентом итд..
Если отсутствует в многочлене икс в какой-либо степени, т.е. многочлен неполный в таблицу на место коэффициента такого икса, требуется поставить ноль. В общем, такая табличка будет выглядеть так:
В оставшемся квадратном трехчлене видно, что корни иррациональны, поэтому нужно посчитать их через дискриминант.
Уверяю Вас, данный метод более рационален, экономичен по времени и менее энергозатратен для мозгов.
Благодарю за внимание..