Хочу поделиться не лишённым изящества доказательством теоремы косинусов, пришедшим мне в голову во время прогулки. Оно основывается на простом построении, которое я смог произвести в уме, без карандаша с бумагой и, что особо интересно, не использует теорему Пифагора, хоть и отталкивается от одного её элегантного доказательства.
Рассмотрим произвольный треугольник со сторонами a, b и c. Из трёх копий этого треугольника, пропорционально увеличенных в a, b и c раз, сложим пятиугольник ABECD, как показано на рисунке.
Поскольку сумма углов в треугольнике равна 180°, ∠DCE будет развёрнутым. В силу подобия треугольников, ∠ABC = ∠BCE, а значит отрезок DE параллелен отрезку AB, Наконец, AD = BE, по построению. Следовательно, получившийся четырёхугольник является равнобокой трапецией.
Построив высоты в трапеции, и воспользовавшись её симметрией, видим, что a² + b² = c² + 2x, где x можно выразить через функцию от угла и длину ab. Эту функцию угла, являющуюся коэффициентом пропорциональности между гипотенузой и катетом, прилежащим к углу мы и называем косинусом.
Если исходный треугольник будет тупоугольным, ничего в построении не изменится, кроме того, что a² + b² будет меньше, чем c² и функция от угла поменяет знак. □
Для тех, кто хочет "поиграть" с этим построением, тут есть чертёж в Geogebra. Можно подвигать красную точку C и посмотреть какой будет трапеция для различных треугольников.
Конечно же, в случае прямоугольного треугольника, углы при основании трапеции станут прямыми, трапеция превратится в прямоугольник, и мы получим, что a² + b² = с², то есть, известное элегантное доказательство теоремы Пифагора. Но имея уже доказанную теорему косинусов, теперь можно честно получить теорему Пифагора и без построений, просто, как частный случай, убедившись из определения, что для прямого угла косинус равен нулю.
Ну и что?
Теорема косинусов доказывается в школьном курсе совсем несложно. Как правило, доказательство опирается на уже известную теорему Пифагора и уже знакомую функцию косинус. Мне же хотелось прийти к этой теореме, используя самые минимальные средства элементарной геометрии, минуя как тригонометрию, так и теорему Пифагора, при этом, не привлекая векторного исчисления.
Приведённые рассуждения полагаются только лишь на пятый постулат Евклида, из которого следуют равенство суммы углов в треугольнике 180° и существование подобных треугольников. Они демонстрируют то, что для справедливости теоремы косинусов и её частного случая, теоремы Пифагора, необходимо, чтобы выполнялся пятый постулат Евклида. Но достаточно ли этого?
Давайте докажем, что если выполняется теорема косинусов, то в любом треугольнике углы в сумме дают развёрнутый угол, то есть, что пространство евклидово.
Для этого рассмотрим произвольный треугольник ABC и отразим его относительно середины орезка AB — точки D. Далее, выпишем теорему косинусов для нескольких треугольников:
Таким образом, используя только элементарную алгебру и не привлекая каких-либо тригонометрических соотношений, мы получили связь между косинусом суммы двух углов треугольника и косинусом третьего угла в нём. А далее, из определения косинуса, которое появилось в теореме косинусов, и простейшего построения, легко получить что γ = 180° − α − β.
Получается, что для справедливости теоремы косинусов необходимо и достаточно равенства 180° суммы углов в любом треугольнике. Значит, утверждения: "в пространстве выполняется теорема косинусов" (в приведённом выше виде) и "пространство евклидово" эквивалентны.
Для неевклидовых геометрий, например, сферической и гиперболической, теорему косинусов нужно переформулировать, что мы сделаем как-нибудь в следующий раз.