Решение задачи с помощью системы уравнений
Уважаемые мамы и папы, дедушки и бабушки!
На примере решения задачи № 673 из 8-го издания учебника по алгебре для 7-го класса авторов Ю. Н. Макарычева, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешкова и С. Б. Суворова под редакцией С. А Теляковского предлагаю вспомнить решение задачи с помощью составления системы уравнений.
Условие:
Велосипедист проехал путь AB со скоростью 12 км/ч. Возвращаясь из B в A он развил скорость 18 км/ч и затратил на обратный путь на 15 мин меньше, чем на путь из A в B. Сколько километров между A и B?
Решение:
Ещё с младших классов школьники знают, что для того, чтобы найти расстояние, нужно умножить скорость на время:
Предлагаю количество часов, затраченных на дорогу из пункта A в пункт B взять за X, а количество часов, затраченных на дорогу обратно – за Y.
Тогда, для того, чтобы найти расстояние между этими двумя пунктами можно либо 12 умножить на X, либо 18 умножить на Y, то есть:
12X = 18Y
У чисел 15 и 60 наибольший общий делитель равен 15. Пользуясь основным свойством дроби мы сократили числитель 15 и знаменатель 60 на 15 и получили вместо 15 – 1, а вместо 60 – 4.
Таким образом, надо решить систему из двух уравнений:
Подставляем значение Y в первое уравнение:
Получили уравнение с одним неизвестным.
Сперва раскрываем скобки, для этого мы используем правила раскрытия скобок (§39 «Математики» А. Г. Мерзляк (6 класс):
- Если перед скобками стоит знак «–», то при раскрытии скобок надо опустить этот знак, а все знаки, стоящие перед слагаемыми внутри скобок, изменить на противоположные.
- Если перед скобками стоит знак «+», то при раскрытии скобок надо опустить этот знак, а все знаки, стоящие перед слагаемыми внутри скобок, оставить без изменений.
Перед скобками у нас не стоит никакого знака – это надо считать, как «+», следовательно:
Решить это уравнение нам поможет правило переноса слагаемых из одной части уравнения в другую (§41 «Математики» А. Г. Мерзляк (6 класс):
Если какое-нибудь слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак на противоположный, то получим уравнение, имеющее те же корни, что и данное.
Действительно, ведь если, например, в уравнении x + 3 = 8 мы цифру 3 перенесём в правую сторону с противоположным знаком, то получим уравнение x = 8 – 3. То есть корень уравнения равен 5 – это легко проверить, подставив вместо переменной x цифру 5:
5 + 3 = 8.
В нашем же уравнении перенесём слагаемое «12X» из левой части уравнения в правую, изменив его на «– 12X» получаем:
3 = 18X – 12X
3 = 6X
X = 3 : 6
X = 0,5 часа затратил велосипедист на обратный путь.
Теперь подставляем скорость и время в формулу нахождения расстояния, получаем:
S = 18 * 0,5 = 9 км
Ответ: между пунктами A и B девять километров.