Дадим определение, что такое интеграл - одно из важнейших понятий математического анализа, которое возникает при решении задач: о нахождении площади под кривой; пройденного пути при неравномерном движении; массы неоднородного тела, и тому подобных; а также в задаче о восстановлении функции по её производной (неопределённый интеграл). Упрощённо интеграл можно представить как аналог суммы для бесконечного числа бесконечно малых слагаемых.
Но мы будем рассматривать определенный интеграл
Общее определение определенного интеграла
Здесь числа a и b называются пределами интегрирования (по аналогии с пределами суммирования): a — нижним, b — верхним.
А теперь самое важное! Неопределённый интеграл от функции — это семейство первообразных функций (ключевое слово тут — функций). То есть это выражения, содержащие неизвестную.
А вот определённый интеграл — это число. Как и площадь под графиком кривой — это число. Для нахождения этого числа существует специальная формула.
То есть определённый интеграл функции f(x) равен разности значений любой её первообразной
F(x) в правой и левой точках отрезка.
Первообразной для данной функции F(x), называют, такую функцию F(x) производная, которой равна f. Нахождение первообразной является операцией, обратной дифференцированию - последнее по заданной функции находит её производную, а найдя первообразную, мы, наоборот, по заданной производной определили исходную функцию.
Посмотрим, как вычислять определённые интегралы с помощью Python.
В этом поможет библиотека SciPy. Её часто используют для научных исследований, так как в ней содержатся реализации многих математических операций. Нам пригодится метод scipy.integrate.quad — он вычисляет значение определённого интеграла функции при заданных пределах интегрирования.
На вход метода quad(f, a, b) подаются подынтегральная функция f, нижний предел интегрирования a и верхний предел b.
Внутри метод заменяет исходную функцию на комбинацию более простых — таких, у которых интеграл легко вычисляется. То есть quad находит значение интеграла приближённо. В таких случаях нужна оценка погрешности — чтобы понимать, на сколько приближённое значение может отличаться от точного.
Поэтому quad возвращает два числа (res, err): приближённое значение интеграла res и оценку погрешности err.
Функция quad возвращает два значения, но сохранить нужно только первое — результат интегрирования. Можно получить его так: quad(f, a, b)[0].
Пример кода:
from scipy.integrate import quad
def d(t):
return (1/4)*(-5*t**2+14*t+50)
res = quad(d, 0, 4)[0]
print(res)
Оператор def задает функцию в данном случае (d(t).
return - оператор возврата.
Оператор ** -возводит число в степень, в данном случае , во вторую.
res- переменная в которую мы записываем результат вычислений
quad(d, 0, 4)[0] -нижний предел 0, а верхний 4.
print- печатает на экран, то что мы положили в переменную res.
Результат
51.33333333333333
А, если пятую строчку кода написать без [0], то результат будет 51.33333333333333, 5.69914485974247e-13, справа выводится погрешность вычисления.
Библиотеку scipy нужно устанавливать с помощью cmd.exe, если это windows при помощи команды pip install scipy, но перед этим должна быть установлена актуальная версия Python.
Чтобы запустить этот код в среде разработки Python нужно в меню выбрать пункт File->New File, в появившемся окне набрать код или скопировать его туда, проверить ошибки, в меню появившегося окна выбрать Run->Run Module, программа выполнится.
Вот, такой не сложный, но полезный способ подсчета определенного интеграла, хотелось показать вам.
Маленькая просьба, поставить лайк в Дзене, если Вам понравилась публикация и подписаться, это поможет развитию канала: https://dzen.ru/id/5f572502b7204709f04ab67c