Задача: Сколько сторон может иметь выпуклый многоугольник, все диагонали которого равны?
Легко понять, что квадрат и правильный пятиугольник нам годятся — у каждого из них все диагонали равны. А может ли быть больше пяти сторон у такого многоугольника?
Докажем, что больше пяти сторон быть не может.
Пусть есть выпуклый шестиугольник ABCDEF, все диагонали которого равны. Рассмотрим четырехугольник ABDE:
Проведем диагонали AD и BE:
По условию должно быть верно, что BD = AE = BE = AD, значит BD + AE = BE + AD.
В то же время BE + AD > BD + AE. Это верно по неравенству треугольника, ведь BD < BG + GD, а AE < AG + GE.
Полученное противоречие показывает, что такого шестиугольника не существует. Доказательство для многоугольников с большим числом сторон полностью аналогично.
Что запомнить
Сумма диагоналей выпуклого четырёхугольника больше суммы его противоположных сторон.
Источники
Задача предлагалась на Московской математической олимпиаде в 1974 году. Автор задачи: Григорий Александрович Гальперин — математик, автор книги «Математические бильярды».
Больше геометрических задач в моем телеграм-канале: @geometrykanal
Смотрите также подборку задач на поиск суммы углов.