Давайте посмотрим, как выглядит время с разных точек зрения, и почему оно течет от прошлого к будущему, и как именно. Очень кратко и по-дилетантски.
Классическая механика. В уравнения классической механики время входит как параметр. Второй закон Ньютона выражает ускорение материальной точки (вторую производную по времени) через силы, которые выражаются через координаты этой и других точек.
То есть координаты точек зависят от чего-то, что мы и называем временем. Если выбрать тот или иной периодический процесс, например, вращение с постоянной угловой скоростью, то можно сделать его эталоном времени.
Уравнения классической механики содержат время только косвенно, в виде производных, причем второго порядка. Следовательно, от направления времени уравнения не зависят. Если возможен некий процесс, возможен и обратный процесс.
В механике Лагранжа то же самое. Уравнения выводятся из минимизации некоторого интеграла по времени, но получаются опять-таки второго порядка. В механике Гамильтона уравнения первого порядка, но это означает лишь обращение скоростей при изменении направления времени.
Если добавить трение и другую диссипацию энергии, то время перестанет быть симметричным. Но, спасая закон сохранения, мы добавляем в систему то, с чем она взаимодействует, и получаем опять симметричную систему.
Можно сказать, что законы сохранения эквивалентны обратимости времени.
Самое тонкое в этом то, что в классической механике прошлое и будущее определены настоящим, и поэтому трудно сказать, что это такое --- настоящее. Есть траектория системы, и ее, в принципе, можно рассчитать в обе стороны с любого места. И всё. Где тут настоящее?
Итак, разворот времени в классике возможен, формально это смена знака у всех скоростей. На практике это может быть сложно, но в принципе --- возможно.
Диффузионные процессы. Диффузия может по-разному описываться, но сводится в конце концов к уравнению диффузии с_t=Dc'', где c_t --- частная производная концентрации по времени, а c' --- по пространственной координате. В трехмерном пространстве справа будет D div grad c.
Вот это уравнение различает направление времени. О нем будет отдельная заметка, сейчас кратко. Вы можете взять практически любое начальное распределение, даже можно обобщенную функцию, и решить задачу диффузии в обычном времени, в будущее. Если задача на отрезке, то она решается через ряды Фурье, причем коэффициенты ряда быстро --- экспоненциально --- убывают, как по времени, так и по номеру члена ряда.
А что будет, если развернуть время? Формально в левой части появится знак "минус". Все будет точно так же, и решение в виде ряда Фурье можно записать... но теперь коэффициенты будут быстро расти, а не убывать.
А так нельзя. Ряд Фурье такого не допускает. Коэффициенты его (для обычных функций) обязаны стремиться к нулю. Для обобщенных функций они могут возрастать, но не быстрее степени. Поэтому формальный ряд Фурье для решения расходится в любом разумном смысле, кроме как для очень специальных начальных (точнее, конечных) распределений.
Иными словами, запустить диффузию обратно во времени можно только с того состояния, к которому она пришла в прямом времени. Малейшее нарушение --- и решения нет.
И более того. Если в механике достаточно "всего лишь" обратить знак скорости в каждой точке, при тех же уравнениях, то в диффузии уравнение уже другое. И решение этого другого не является решением того исходного --- ни при каких краевых условиях.
Кстати, поэтому диффузию нельзя рассчитать назад, в прошлое --- кроме особых случаев. Всегда есть "старт". Но потом "настоящее" уже никак не определить, как и в классической механике.
Квантовая механика. С одной стороны, уравнения там тоже симметричны к обращению времени. Есть такая CPT-симметрия, которая гарантирует инвариантность всех процессов по отношению к одновременной замене правого левым и наоборот (по сути, развороту одной из осей пространственных координат), знаков всех зарядов и всех скоростей (что и есть, формально, разворот времени). Так что если система нейтральна по зарядам и не чувствительна к правому-левому, то она и во времени симметрична.
Но есть одна проблема. Принцип неопределенности гласит, что можно предсказать динамику вероятности тех или иных квантовых событий, а количество возможностей со временем будет нарастать.
Поясню. В биллиарде катящийся шарик ударит этот и этот, те покатятся и столкнутся с другими и так далее... Это трудно рассчитать, очень трудно --- через пять-шесть ударов даже гравитация тел игроков начинает влиять --- но в принципе делаемо. Однако динамика крайне чувствительна к погрешностям начальных условий и ошибкам расчета --- эта неопределенность очень быстро нарастает. В квантовой системе типа биллиарда эта неопределенность принципиально неустранима, и тоже быстро нарастает. Через пять-шесть взаимодействий она станет такой большой, что о какой-либо определенности можно забыть. Это позволяет различить прошлое и будущее. Впрочем, об этом позже.
Термодинамика. Закон неубывания энтропии способен задать времени направление. Энтропия растет от прошлого к будущему, и убывает в обратном направлении. Поэтому обратно и "никак".
Допустим, что будущее определено и неизбежно, по уравнениями классической механики. Почему же мы помним прошлое, но не помним будущего?
Дело в том, что "запомнить" состояние можно, лишь совершив какую-то работу. Что-то куда-то передвинуть, записать, выцарапать, высечь. Процессы в природе неравновесны, так что энтропия растет. Поэтому мы помним прошлое, но не помним будущее, даже если оно математически определено (в данной модели).
Уточнять, конечно, можно до бесконечности.
Теория хаоса. Вполне респектабельная теория. Она рассматривает динамические системы с точки зрения устойчивости. Дело вот в чем: даже если можно систему запустить обратно (развернув все скорости), не факт, что процесс будет устойчив. А если он не будет устойчив, то очень трудно его запустить обратно!
Проще говоря, пнуть мячик на крыше предельно просто, и он упадет, попрыгает, и будет пойман вашим напарником; но вот напарнику бросить его с той же скоростью в обратном направлении, чтобы он закатился обратно на крышу --- предельно трудно.
Попасть точно в руки напарнику трудно, но намного легче, чем наоборот.
Причем дело не сложности самой по себе, а в радикальном увеличении сложности при обращении времени. Разбить шары на биллиарде как-нибудь --- просто, хотя рассчитать их динамику на долгое время (если трения нет) --- трудно. Однако запустить обратный процесс еще сложнее --- так, чтобы шары собрались обратно в треугольник. Возможно теоретически, но нереально.
Теория относительности. Одновременность в ТО относительна: пространственно-подобные события могут идти в разном порядке в разных системах координат. Однако времени-подобные события упорядочены во времени.
Уравнения инвариантны относительно направления времени, и вообще пространственно-временной континуум определен весь и сразу --- настоящее в ТО не определено, как и в классике.
Уравнения геодезических, записанные через собственное время, являются уравнениями второго порядка, как и в классике (и сводятся к классике в ньютоновском пределе).
С другой стороны, гравитация притягивающая, так что при обращении времени нужно либо допускать отталкивающую гравитацию (отрицательную энергию и т.п.), либо различать направление времени.
Темная энергия является отталкивающей, но она как раз становится притягивающей в обратном времени и тоже позволяет различить прошлое и будущее.
Сюда же примыкает космология. В принципе, вся ось времени, помимо термодинамической, есть последствие Большого взрыва!