Когда мы собираемся что-то изучать, возникает потребность очертить круг объектов с которыми нам предстоит работать: например "Возьмём все груши из корзины...", "Рассмотрим все кубики в коробке...".
Имея такие примеры, можно дать определение множеству: множество - это совокупность объектов, объединённое некоторым правилом. Но такая формулировка определения включает в себя некоторые проблемы.
Рассмотрим слово : М Н О Ж Е С Т В О.
Что из себя представляет множество букв этого слова? Наверняка вы уже знаете,что множество записывают так: в фигурных скобках — список элементов,из которых это множество состоит. Итак, пишем: (М, Н, О, Ж, Е, С, Т, В).
Как видим возникла первая проблема: в русском алфавите одна буква О, а в слове множество две. Почему вторую букву О писать не надо? Можно объяснить, произнеся такую фразу:
множество определяется своими элементами.
Таким образом каждый элемент в множестве встречается только один раз. Теперь можно сказать что буква О не нужна, так как она в нашем множестве уже есть.
Но что делать если нам всё-таки нужны две буквы О? Например, мы играем в такую игру: составляем слова из букв слова МНОЖЕСТВО. Понятно, что если букву О можно использовать два раза, то мы составим больше слов. Значит, надо как-то различать эти две буквы О, например назвать их О1 и О2. Тогда множество букв в слове МНОЖЕСТВО будет выглядеть так:
(М, Н, О1, Ж, Е, С, Т, В, О2).
Теперь с точки зрения русского языка всё в порядке: букв О две, и мы можем спокойно составлять слова с двумя буквами О.
Итак, эту проблему мы решили.
Вторая, более серьёзная проблема возникает из-за того, что нам хочется рассматривать большие и непонятно как определённые множества, вроде множества всех людей или множества всех деревьев. Но прежде чем рассказать об этой проблеме, обсудим одно замечательное множество.
Пустое множество.
Что значит, что множество A является подмножеством множества B?Это значит, что все элементы множества A принадлежат и множеству B. Если представлять себе множества в виде коробок, то множество B—это большая коробка, а множество A—коробка поменьше, в которой лежат некоторые из элементов, лежащих в коробке B.
Например, множество всех чётных чисел (числа делящиеся на два) является подмножеством множества всех целых чисел, а множество {0, 1, 2}- подмножеством множества {0, 1, 2, 3}.
Рассмотрим два множества:
{все летающие пингвины} И {все участники олимпиад}.
Является одно из них подмножеством другого?
Как вообще доказать что А лежит в основе B? Можно проверить, что любой элемент а множества А лежит в B. А можно применить метод от противного: если А не является подмножеством B, то найдётся элемент а принадлежащий А, такой что а не принадлежит B, а если такого а нет, то А лежит в основе B.
Но можно ли найти летающего пингвина, не участвующего в олимпиаде? Да где вообще найдёшь летающего пингвина... Поэтому
{ все летающие пингвины } лежит в основе { все участники олимпиад }.
Что же получается: все летающие пингвины участвуют в олимпиадах?
Множество летающих пингвинов - это пустое множество: в нём нет элементов. Это множество настолько важное, что для него даже придумали особый символ (этот символ можно найти в интернете введя в поисковую строку: символ пустого множества). Символ для пустого множества только один, потому-что пустое множество единственно.
В самом деле, предположим, что существуют два разных пустых множества. Но что значит, что множества разные?Это значит, что в одном из них найдётся элемент, который не принадлежит другому. Но в пустых множествах вообще элементов нет!
Таким образом, мы доказали, что пустое множество единственно и является подмножеством любого другого множества.