Чтобы хорошо написать профильный ЕГЭ по математике, нужно упорядочить свои знания за все школьные годы, организовав их в удобную структуру. В этом вам поможет моя статья. В ней я расскажу о том, какие типы уравнений рассматриваются в школьной программе и какие два ключевых метода обычно используют при решении уравнений.
Классификация уравнений
В большинстве российских школ на уроках математики и алгебры рассматривают следующие типы уравнений:
- Целые рациональные уравнения*
- Дробно-рациональные уравнения
- Иррациональные уравнения
- Тригонометрических уравнения
- Показательные уравнения
- Логарифмические уравнения
*К целым рациональным уравнениям можно отнести линейные, квадратные, кубические и уравнения четвёртой степени.
Зачем знать классификацию уравнений
Знать классификацию уравнений нужно для того, чтобы выбрать правильный (обоснованный, верный и удобный) инструмент решения. Отмечу, что почти все уравнения можно решить с помощью метода равносильных переходов, но иногда пользоваться им очень неудобно или затруднительно.
Поэтому в школе рассматривается ещё один (второй) метод решения, который обычно проще, чем метод равносильных переходов, но таит в себе некоторые опасности, о которых я расскажу ниже.
Переход к уравнению-следствию
Алгоритм второго метода можно описать следующими тремя действиями:
- Выписать ОДЗ исходного уравнения
- Перейти к уравнению-следствию и решить его
- Отфильтровать корни, убрав из итогового ответа корни, не входящие в ОДЗ исходного уравнения
Такой метод решения будем называть "метод перехода к уравнению-следствию с фильтрацией корней с помощью ОДЗ исходного уравнения".
К сожалению, этот второй метод (по возможности) лучше не использовать. Дело в том, что выписывание ОДЗ исходного уравнения не спасает от появления посторонних корней, если в процессе решения обе части уравнения домножались на выражение, содержащее переменную или возводились в квадрат. А возведение обеих частей в квадрат зачастую необходимо при решении иррациональных уравнений.
Вообще говоря, отбросить посторонние корни после перехода к уравнению-следствию можно с помощью подстановки найденных корней в исходное уравнение, но не с помощью ОДЗ. К сожалению, такая подстановка зачастую бывает очень проблематичной и затруднительной. Поэтому я рекомендую на ЕГЭ решать иррациональные уравнения только методом равносильных переходов!
Метод равносильных переходов
Метод равносильных переходов требует глубоких и прочных теоретических знаний. Но именно эти знания позволят вам набрать баллы за сложные задания второй части (в частности, это касается сложных уравнений в задании 13, сложных неравенств в задании 15 и задач с параметрами в задании 18). Метод равносильных переходов можно использовать не только при решении уравнений, но и при решении неравенств.
Кстати, метод рационализации, который часто используют при решении задания 15 профильного ЕГЭ по математике, является частным случаем метода равносильных переходов.
В 2020 году я набрал 96 баллов и решил задания 15 и 18 на максимальный балл благодаря равносильным переходам. Здесь я приведу только сканы моих заданий 15 и 18, чтобы продемонстрировать, как можно получить максимальные баллы в этих номерах.
Кстати, подробный разбор задания 18 из своего варианта я делал в этом видео.