Одно из самых важных тем в математике, является тема действия. В элементарной математике изучается всего 7 алгебраических действий. Три прямых и четыре обратных. Есть ещё тригонометрические одноместные действия, одно из самых важных есть тангенс угла. В высшей математике изучают дифференцирование и интегрирование.
Рис. 1. Таблица сложения
Правило сложения задаётся таблицей сложения. Сумму двух чисел с помощью таблицы сложения можно найти с помощью двух стрелок перпендикулярных сторонам таблицы 2 + 3 = 5. В первом столбце первое слагаемое m, в верхней строке второе n. В остальных ячейках таблицы соответствующее значение суммы k = m + n. С помощью таблицы сложения можно найти результат сумму с помощью двух стрелок.
Рис. 2. Способ нахождения неизвестного слагаемого с помощью таблицы сложения.
Если неизвестно первое слагаемое, то имеем равенство, в котором
х + 3 = 5 первая компонента неизвестна. Тогда по таблице сложения находим в первой строке 3 и двигаемся вниз до 5 , а затем влево и находим 2. Если неизвестна вторая компонента 2 + х = 5 то двигаемся вправо и вверх.
Если х + 3 = 5 , то x = 5 - 3 = 2, (вниз и влево);
Если 2 + х = 5 , то x = 5 - 2 = 3, (вправо и вверх).
УМНОЖЕНИЕ И ДЕЛЕНИЕ
Рис. 3. Таблица умножения
Правило умножения задаётся таблицей умножения, которая основывается на таблице сложения. Произведение двух чисел с помощью таблицы умножения можно найти с помощью двух стрелок перпендикулярных сторонам таблицы 2 х 3 = 6. В первом столбце первый сомножитель m, в верхней строке второй n. В остальных ячейках таблицы соответствующее значение произведение k = m х n. С помощью таблицы умножения можно найти результат произведение с помощью двух стрелок.
Деление (2-11 классы)
Задача 4. На двух полках было шесть книг. Сколько книг было на каждой из полок?
Решение.
Если на 2 полках было 6 книг, на каждой из полок было по 6 : 2 = 3 книги
Ответ: 3 книги на каждой полке
Решение с помощью уравнения
Обозначим через x количество книг на каждой из полок и составим уравнение
Если х х 3 = 6, то x = 6 : 3 = 2;
Ответ: 2 книги.
Много задач, когда произведение двух чисел дано, а один из множителей неизвестен. Например, в классе раздали 75 карандашей, по 3 карандаша каждому ученику. Сколько всего учеников в классе? Если известное количество карандашей полученных каждым учеником 3 умножить на количество неизвестных x всех учеников, то получим всего розданных 75 карандашей. Таким образом здесь дано произведение 75 и первый сомножитель 3. Искомое число учеников находиться с помощью деления 75 : 3 = 25 учеников, так как 3 × 25 =75. Действие состоящее в том, чтобы по произведению и одному сомножителю (множителю), найти другой сомножитель называется делением.
Рис. 4. Способ нахождения неизвестного сомножителя с помощью таблицы умножения. Если неизвестно первый сомножитель, то имеем равенство, в котором х × 3 = 6 первая компонента неизвестна. Тогда по таблице умножения находим в первой строке 3 и двигаемся вниз до 6, а затем влево и находим 2. Если неизвестна вторая компонента 2 × х = 6, то двигаемся вправо и вверх.
Если х × 3 = 6 , то x = 6/3 = 2, (вниз и влево);
Если 2 × х = 6 , то x = 6/2 = 3, (вправо и вверх).
Возведение в натуральную степень.
(5 – 11 класс)
В некоторых задачах требуется перемножить число само на себя несколько раз (два, три и т.д. раз).
Задача 5. Дан квадрат со стороной 4 см. Найти площадь квадрата.
Решение.
Если у квадрата сторона равна 4 см, то площадь равна произведению длин одинаковых сторон 4 x 4 = 4^2 = 16.
Ответ: 16 см2
Здесь знак ^ обозначает действие возведения в степень.
Задача 6. Дан куб со стороной 2 см. Найти объём.
Решение.
Если у куба сторона равна 2 см, то объём равен произведению длин одинаковых сторон 2 х 2 х 2 = 2^3 = 8.
Ответ: 8 см3
Произведение одинаковых чисел записывают короче. Например, 3 х 3 = 3^2; 2 x 2 x 2 = 2^3 = 8 , 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 2^5 = 32.
Число, повторяющееся сомножителем, называется основанием степени; число указывающее, сколько раз берётся одинаковый множитель, называется показателем степени. Результат называется степенью. Запись: 3^4 = 81; здесь 3 есть основание степени, 4 есть показатель степени, результат 81 (и 3^4) есть степень.
3. Что называется таблицей возведения в натуральную степень?
Таблицей возведения в натуральную степень называется такая таблица, в каждой ячейке которой стоит степень двух чисел, основание степени расположено в первом левом столбце, а показатель степени в впервой верхней строке.
Рис. 5. Таблица степеней в пределах десяти тысяч.
В первом столбце основание степени m, в верхней строке показатель степени n. В остальных ячейках таблицы соответствующее значение степени k = m^n. С помощью таблицы возведения в натуральную степень можно найти результат (степень) с помощью двух стрелок.
Извлечение корня (5-11 класс)
Для сложения имеется две обратные операции вычитания по нахождению первого слагаемого или второго слагаемого. Но в силу перестановочности слагаемых две операции не различают. Для возведения в степень тоже существует две операции по нахождению основания степени (завлечение корня) и по нахождению показателя степени (логарифмирование).
Есть задачи, которые предполагают находить основание степени по заданному результату (степени) и известному показателю степени.
Задача 7. Дан квадрат с площадью 16 см2. Найти сторону квадрата.
Решение.
Если у квадрата площадь равна 16 кв. см., то сторона равна сторона 4 см, так как 4 x 4 = 4^2 = 16.
Сторона находиться с помощью действия извлечения квадратного (корня второй степени) . В математических пакетах для осуществления операции извлечения коря есть двуместные функции
kr(16, 2) = 4 см.
Читается корень (kr) из 16 с показателем 2 и равен 4.
Ответ: 4 см.
Задача 8. Дан куб у которого объём равно 27 см3 . Найти ребро куба.
Решение.
Если у куба объём равен 27 см3, то ребро равно 3 см так как 3 x 3 x 3 = 3^3 = 27 см3.
Сторона находиться с помощью действия извлечения кубического (корня третьей степени)
kr(27, 3) =3см.
Ответ: 3 см.
корень из 81 с показателем 4 равен 3, kr(81, 4) =3, так как 3^4 = 81.
В записи kr(81, 4) =3 , число 81 – подкоренное число, 4 – показатель корня, искомое число 3 – корень.
Рис. 6
Если неизвестно основание степени, то имеем равенство, в котором первая компонента неизвестна x^3 = 8, тогда по таблице возведения в степень находим в первой строке 3 и двигаемся вниз до 8, а затем влево и находим 2
Если x^3 = 8, то x = kr(8,3) = 2 (вниз и влево).
Логарифмирование (5-11 класс)
Есть задачи, которые предполагают находить показатель степени по заданному результату (степени) k и известному основанию степени m
Логарифмирование будем так же записывать в виде, как в математических пакетах , например mathCAD
log(81,3) = 4
Читается строка так: логарифм 81 по основанию 3 равно 4
Задача 9. В какую степень надо возвести число 4, чтобы получить 16.
Решение.
Требуется найти неизвестный показатель степени 4^x = 6
Если 4 возвести во 2 степень, то получим 4^2 = 16. Степень находиться с помощью логарифмирования и таблицы возведения в степень
log(16, 4) = 2
Ответ: 2.
Читается логарифм 16, по основанию 4 рано 2, это означает, что 4^2 = 16
Задача 5. В какую степень надо возвести число 3, чтобы получить 81.
Решение.
Требуется найти неизвестное основание степени 3^x = 81
Если 3 возвести в 4 степень, то получим 3^4 = 81. Степень находиться с помощью логарифмирования.
log(81, 3) = 4
Ответ: 3 надо возвести в 4 степень.
Если 2^x = 8, то x = log(8, 2)=3
x равен логарифму 8 по основанию 2.
Рис.7. Нахождение неизвестного показателя степени с помощью таблицы степеней. Движение слева направо от 2 до 8 и вверх до 3.
Тангенс угла в прямоугольном треугольнике (5-11 класс)
.
Рис.8. Прямоугольный треугольник и тангенс угла
ОБЩАЯ СХЕМА ВОСЬМИ ОПРЕДЕЛЕНИЙ ПРЯМЫХ И ОБРАТНЫХ ДЕЙСТВИЙ
Эти определения есть ключи ко всем разделам математики, поэтому изучать и осваивать их надо, основательно, повторяя систематически на протяжении всех лет обучения в школе и Вузе. Разделы строятся в соответствии с этой схемой
Эта схема наглядно показывает, действие умножения есть частный случай сложения, а действие возведения в натуральную степень, есть частный случай умножения. Действия сложения и умножения имеют по одной обратной операции, а действие возведения в степень имеет две обратные операции, так как компоненты действия возведения в ступень не обладают свойством коммутативности. Сложение и умножение образуют действия первой (I) ступени, умножение и деление - второй ступени, а возведение в степень извлечение корня и логарифмирование третьей (III) ступени
Сложение
1. Какое арифметическое действие называется сложением?
Сложение двух натуральных чисел есть прямое арифметическое действие, с помощью которого находят количество единиц в обоих числах вместе.
Вычитание
2. Какое действие называется вычитанием?
А)Вычитанием называется арифметическое действие обратное сложению, с помощью которого по заданной сумме и одному известному слагаемому находят другое неизвестное слагаемое.
Б) Вычитание есть действие, состоящее в том, что от одного числа отнимается столько единиц, сколько их содержится в другом числе.
Умножение
3. Какое действие называется умножением?
Умножением называется прямое арифметическое действие, с помощью которого находят сумму одинаковых слагаемых (количество единиц в одинаковых слагаемых).
Деление
4. Какое действие называется делением?
Делением называется арифметическое действие обратное умножению, с помощью которого по заданному произведению и одному известному сомножителю находят другой неизвестный сомножитель.
Возведение в степень
5. Какое действие называется возведением в натуральную степень? (5 класс)
Возведением в натуральную степень называется прямое математическое действие, с помощью которого находят произведение одинаковых сомножителей.
Извлечение корня
6. Какое действие называется извлечением корня?
Извлечение корня называется математическое действие обратное возведению в натуральную степень, с помощью которого по заданной степени и известному показателю степени находят неизвестное основание степени.
Логарифмирование
7. Какое действие называется логарифмированием?
Логарифмированием называется математическое действие обратное возведению в натуральную степень, с помощью которого по заданной степени k и известному основанию степени m находят неизвестный показатель степени.
Тангенс угла в прямоугольном треугольнике
8. Что называется тангенсом угла в прямоугольном треугольнике?
Тангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется число, которое получается от деления длины противолежащего катета на длину прилежащего катета.
Компоненты действий
1. Как называются компоненты действия сложения?
Компоненты действия сложения называются слагаемыми. Первая компонента называется первым слагаемым, вторая компонента – вторым слагаемым. Результат называется суммой.
2. Как называются компоненты действия вычитания?
Первая компонента действия вычитания называется уменьшаемым. Вторая компонента называется вычитаемым. Результат называется разностью.
3. Как называются компоненты действия умножения?
Компоненты действия умножения называются сомножителями. Первая компонента называется первым сомножителем (множимое), вторая - вторым сомножителем (множитель). Результат действия умножения называется произведением.
4. Как называются компоненты действия деления?
Первая компонента действия деления называется делимым. Вторая компонента называется делителем. Результат действия деления называется частным.
5. Как называются компоненты действия возведения в степень и результат? 2^3=8
Первая компонента называется основанием степени (2), вторая показателем степени (3), результат называется степенью (8), степенью называется и выражение 2^3.
Таблицы
2. Какая таблица называется таблицей сложения?
Таблицей сложения называется такая таблица, в каждой ячейке которой стоит сумма двух чисел, расположенных в первом столбце и первой строке
2. Какая таблица называется таблицей умножения?
Таблицей умножения называется такая таблица, в каждой ячейке которой стоит произведение двух чисел, расположенных в первом столбце и первой строке.