Человек, который заявляет "ответа на этот вопрос нет!" либо эксперт высочайшего уровня, который знает всё в данной области, либо не очень приличный человек, который: либо любит раздражать людей, либо невежествен настолько, что неспособен осознать глубину своего невежества, либо просто врунишка.
Это присказка, не сказка, сказка будет впереди.
Уравнение Эйнштейна выражает метрику пространства-времени (тензор g) через тензор энергии-импульса T, который в простых случаях (гравитация, создаваемая небесным телом, например) равен нулю вне гравитирующего тела. При этом скалярная кривизна R (без индексов) равна нулю, а также нулю равен тензор Риччи R (с индексами). Чтобы убедиться в этом, сверните левую часть уравнения выше с метрическим тензором по обоим индексам и учтите, что g, свернутый сам с собой, дает в 4-хмерном пространстве число 4. Получится -R=0.
Свертка по двум индексам, если по-простому, это "перемножить элементы матриц и все сложить". В ортогональных координатах тензор g --- это диагональная матрица, в плоском случае на диагонали три единицы и -1.
Однако пространство плоским (в смысле постоянных во времени компонент метрического тензора хоть в какой-нибудь системе координат) не будет. Приравнивая компоненты тензора Риччи нулю, мы получаем дифференциальные уравнения для компонент метрического тензора, решаем их и определяем геодезические, которые и дают нам орбиты, траектории и все остальное. В частном случае может получиться и плоская метрика пустого пространства, в котором геодезические --- это прямые.
Что же происходит при движении массы? Если движение равномерное прямолинейное, это не движение: выберите систему отсчета, которая связана с этой вашей звездой --- в ней звезда неподвижна.
Тензорный характер уравнений гарантирует, что результат в одной системе координат будет верен и в любой другой.
Ускоренная масса, например, комета вокруг Солнца, тоже не проблема. В системе отсчета кометы она неподвижна, но находится в переменном периодическом гравитационном поле. Поле меняется вдоль оси времени --- что в этом такого странного?
Если же движение таково, что не выполнен закон сохранения энергии, импульса или момента --- например, при сближении звезд в двойной системе --- импульс куда-то уходит. Уходит он (энергия и импульс в ОТО --- это компоненты тензора и идут в связке) в виде гравитационных волн.
Энергию гравитационных волн определить сложно, но это сделано уже несколько десятков лет назад. Считайте, для простоты, что энергия кривизны пространства-времени, в том числе и волн, нелокальна и рассредоточена по всему пространству. Но она может проявлять себя, теоретически, преобразуясь в другие формы энергии. Пример Фейнмана: скользящие кольца на палке; при прохождении волны пространство растягивается, но палка сопротивляется, кольца же --- менее. В результате кольца смещаются вдоль палки, выделяя энергию за счет трения.
Однако регистрировать энергию гравитационных волн мы не можем (пока?) Мы можем регистрировать изменения расстояний. В LIGO два плеча равной длины, но при прохождении волны их длины немного разные.
Так что ответ на вопрос "что происходит с пространством, когда оттуда уходит масса" довольно прост и давно известен. Масса не может уйти из пространства-времени, ибо она и есть его кривизна. Каждая материальная точка обладает мировой линией --- траекторией в пространстве-времени. Если звезда движется, то сильно искривленное пространство в ее близи выпрямляется, а слабо искривленное --- искривляется, когда звезда туда приходит. Кривизна в данной точке пространства, таким образом, переменна во времени. В сложных случаях, когда плавный переход невозможен, распространяются гравитационные волны.