Давайте обсудим отсутствие закона сохранения в ОТО и почему это не является серьезной проблемой.
Что такое закон сохранения энергии? Рассмотрим упругий мячик, скачущий по твердому полу. У него есть кинетическая энергия и у него есть потенциальная энергия. В первом приближении их сумма сохраняется --- уроненный с высоты 2 метра шарик после удара об пол взлетает точно на те же 2 метра и может быть подхвачен.
Однако на самом деле энергия рассеивается --- на трение о воздух, на упругую деформацию, на нагрев, на вращение, да мало ли на что --- и через несколько ударов он уже не долетит до руки, а через несколько десятков упокоится на полу, не имея ни кинетической, ни потенциальной энергии.
Закон сохранения, разумеется, имеет место; но необходимо добавить еще один (а то и не один) вид энергии и учитывать его. При этом второй закон термодинамики гласит, что никаким образом "выкачать" рассеянную энергию в виде кинетической или потенциальной --- не получится.
То есть формально энергия сохраняется, а фактически --- рассеивается в среде, откуда не может быть извлечена.
Добавим к этому звук --- стук от ударов. Звуковая волна уносит энергию, формально в бесконечность. Мы не можем выделить объем, в котором энергия бы сохранялась: какая-то часть в виде звука может унестись сколь угодно далеко.
Как мы видим из всего сказанного, формальный закон сохранения гарантирует сохранение суммы всех видов энергии, причем фактически некоторые процессы конвертации необратимы и выкачать энергию обратно невозможно.
Кстати, в открытой системе энергия не сохраняется. Об этом почему-то никто не написал в комментариях. Тогда как про возможное убывание энтропии в открытых системах --- написало несколько человек. Инерция мышления))
Теперь, что у нас в ОТО? К разным видам энергии (и импульса) необходимо добавить энергию гравитационного поля, иначе о законе сохранения говорить не приходится: мы не учли один вид энергии. Однако энергия гравитационного поля --- искривленного пространства --- не локализована. Ее нельзя записать в виде скалярного поля, указав: "В этой точке плотность энергии равна такому значению". Поэтому нет такой величины, как полная энергия, которая могла бы сохраняться.
UPDATE. Хороший комментарий подписчика: "Если уж говорить о гравитации, то она принципиально не локализуется - никак. Т.е. с учетом гравитации замкнутых систем не бывает - поэтому и смысла закон сохранения в статическом варианте - не имеет. Вот если записать его в динамике - то он все же есть. В динамике это так: в любом объеме, ограниченном замкнутой поверхностью, сумма всех энергий неизменна за вычетом дивергенции энергетического потока через эту поверхность." Спасибо, коллега Viktor Anisimov!
Вечный двигатель в ОТО невозможен --- это теорема. То есть, тело с кинетической энергией может перевести ее в энергию поля и потом обратно, но никаким образом не может получить больше, чем имело (если только энергия не поступила извне). В обычных ситуациях столько же, но в ряде случаев может быть меньше --- разница рассеялась в пространстве, сразу во всем. Разница с классикой, которую мы обсудили выше, что в классике тепловую энергию можно математически учесть и декларировать сохранение, а в ОТО энергию гравитационного поля --- не всегда.
Еще потому что в ОТО может не быть симметрий, необходимых для глобальных законов сохранения.
И не забудем, что "интеграл по пространству в один и тот же момент времени" может быть сложно вычислить в ОТО из-за необходимости определить "один и тот же момент времени" сразу во всем пространстве.
Локально энергия сохраняется, что опять же проводит параллели с рассмотренным выше шариком. В пределах комнаты все в порядке.
В принципе, и в классике наблюдается некоторый аналог проблемы. Солнце создает потенциал, сразу во всей бесконечной Вселенной, и любая звезда, планета, пылинка космической пыли или, скажем, девушка, обладает потенциальной энергией, и чем дальше от Солнца --- тем больше. Притянувшись к Солнцу, эти объекты конвертируют свою потенциальную энергию в очень немалую кинетическую. Попробуйте подсчитать полную энергию всего, или ее изменение при тех или иных изменениях здесь, в Солнечной системе. Они, эти изменения, влияют сразу на всё.
Не знаю как вам, а мне приятна мысль, что в поле тяготения Бетельгейзе у меня есть потенциальная энергия.
Однако для систем, в которых материя сосредоточена в ограниченном объеме, энергия формализуется и, естественно, сохраняется. Поэтому при анализе вращения планет вокруг звезды, взаимодействия галактик и даже при изучении черных дыр проблем нет. Они возникают, если говорить обо всей Вселенной --- но мы уже убедились, что и в классике в этом случае проблемы есть, но проблемой они не являются.