Казалось бы, оба слова должны быть связаны с глаголом лежать, но всё не так просто... На ложе действительно можно полежать. А как лежать в театральной ложе? Или, прошу прощения, возлежат ли на своих собраниях господа-масоны? Думается, что нет.
На самом деле эти два слова имеют различное происхождение.
Слово ложе "постель" действительно связано с глаголом лежать; оно происходит от праславянского *lože, откуда польское łoże, чешское lože - слова почти устаревшие (ныне более употребительны однокоренные чешское lůžko и польское łóżko).
Слово ложа просто заимствовано из французского loge "хижина; ложа", далее его истоки уходят в прагерманскую древность; родственно немецкому Laube "беседка; ложа". Того же происхождения английские слова lobby "коридор" и lodge "домик; сторожка; будка" (именно это слово вошло во многие языки как обозначение масонской организации), а также итальянское loggia "крытая галерея", откуда русское лоджия.