Агент Сильвера, по кличке Черный пес, регулярно встречается с осведомителем у фонтана в парке. В целях конспирации каждый приходит в случайное время между 12:00 и часом дня, и ждем ровно 15 минут (но в 13:00 уходит, даже если 15 минут не прошло).
Сколько попыток встретиться завершается успехом, в среднем на сотню? Сильвер держит пари, что встреча не состоится --- каков его средний выигрыш? Когда лучше приходить Черному псу и его визави, если они могут выбирать время и должны учитывать, что приходить в одно и то же время опасно, могут обратить внимание?
Задачка элементарная, но есть интересные нюансы, о которых и поговорим.
Чтобы решить задачку, нужно найти подход к ней. Как описывать события "пришел во столько-то"? Точкой отрезка [0,1]. Тогда пары чисел --- это точки квадрата. Область, в которой встреча состоится --- это подмножество квадрата. И нам надо уметь вычислять вероятности подмножеств квадрата. Не произвольных, это невозможно, а простых: состоящих из треугольников и других фигур.
Кстати, площади будут выражаться в квадратных часах, что может вызвать у некоторой категории граждан асфиксию от негодования. Но это нормально, потому что численные выражения площадей не играют роли, важны их отношения.
Если выбор времени максимально случаен, то распределение равномерное. Вероятность каждого интервала пропорциональна его длине. При независимости выбора обоих агентов то же верно для плоских множеств --- их вероятность пропорциональна площади.
Такая вероятность называется геометрической. Она и пригодится нам для решения задачи.
Если какие-то области более вероятны, а какие-то --- менее, нужно вводить плотность распределения, и вероятность множества --- это интеграл от плотности по нему. При равномерном распределении плотность постоянна на квадрате.
Надо вычислить площадь области, выделенной серым на рисунке, и поделить ее на площадь квадрата (но она у нас единичная). Если бы мы считали время в минутах, площадь квадрата была бы 3600 квадратных минут, но на результат это бы никак не повлияло.
Шестиугольник на рисунке состоит из:
- прямоугольника со сторонами 0.75√2 и 0.25√2, так что площадь его равна 3/8.
- Двух равных прямоугольных треугольников с катетами по 0.25, так что их суммарная площадь равна 1/16
Таким образом, вероятность встречи равна 7/16=0.4375. Встреча чаще проваливается, чем нет. Сильвер выигрывает, в среднем, 1/8 дублона.
Теперь подумаем за агентов: разве есть смысл приходить ранее 12:15? Ведь при этом мы теряем шанс застать ждущего визави! то же относится ко времени после 12:45 --- мы теряем шанс дождаться задерживающегося, ведь в 13:00 надо уходить. Поэтому логично почаще приходить между этими двумя моментами, но ведь и партнер это знает. Вероятность встреч сразу вырастет. Но то же рассуждение можно применить повторно: ведь если визави не придет раньше 12:15... Тогда можно приходить ровно к половине первого и вообще не ждать.
Правда, контрразведка тоже все это знает --- у нас есть условие, что надо приходить случайно. Ну, тогда логично приходить где-то между 12:22:30 и 12:37:30 и гарантированно встретиться, при этом время принципиально случайно.