Есть одна забавная теорема, которая интересна не только сама по себе, но и методом доказательства. Вот ее формулировки (речь идет про трехмерное пространство).
- Любое непрерывное касательное поле на сфере вырождено.
- Любое непрерывное касательное поле f(x) на сфере имеет собственный вектор y в смысле f(y)=ay для какого-то вещественного собственного числа а (возможно, равного нулю).
- Ежа (и голову) невозможно причесать без макушки (юмор, конечно).
- В атмосфере обязательно есть циклон или антициклон.
Всё справедливо также в любом пространстве нечетной размерности. Очевидно, что на окружности (сфера в двумерном пространстве) невырожденное касательное поле есть.
Давайте уточним определения. Векторное поле --- это функция, сопоставляющая точке с радиус-вектором x вектор f(x); удобно представлять его как отложенный от соответствующей точки. Поле считаем непрерывным. Сферу представляем с центром в нуле. Нулем будем обозначать нулевой вектор. Вырожденное поле принимает хотя бы в одной точке нулевое значение.
Вообще, доказывать теоремы типа "не существует" или "у любого ... есть ..." трудно. Одно дело --- предъявить нечто, чьё существование декларируется, а другое --- доказать, что этого нет или что оно есть у чего угодно.
Введем понятие линейной гомотопии векторных полей. Два невырожденных поля f(x) и g(x) линейно гомотопны, если поле
tf(x)+(1-t)g(x)
невырождено при любых 0<t<1. То есть, не обращается в нуль ни при каком t и ни при каком x.
В данном случае нам поможет конструкция, о которой будет отдельная заметка. Нам нужна численная характеристика поля, которая обладает двумя свойствами:
- У линейно гомотопных полей она совпадает.
- У линейного поля Ax (A --- матрица) она равна знаку определителя матрицы A.
Такая характеристика существует, называется вращением векторного поля, целочисленна и сохраняется не только при линейной гомотопии.
Мы примем на веру существование этой характеристики и, пользуясь двумя ее свойствами, докажем теорему.
Итак, пусть на сфере задано невырожденное поле f(x). Если его вращение не равно единице, то оно не гомотопно полю g(x)=x. Иначе бы вращения совпадали, а у g(x) оно равно единице. Следовательно, гомотопия равна нулю при каком-то t и каком-то x:
tf(x)+(1-t)x=0.
Отсюда следует f(x)=ax при a=-(1-t)/t. Мы нашли собственный вектор.
Если же вращение равно единице, то поле не гомотопно полю s(x)=-x. Вот здесь "выстреливает" нечетномерность пространства, потому что матрица -Е четного порядка имеет определитель 1 (Е --- единичная матрица). Аналогичное рассуждение позволяет определить собственный вектор.
Теорема доказана. Если поле касательное, то f(x) перпендикулярно x по геометрическим свойствам сферы. Поэтому собственный вектор обязан иметь нулевое собственное число: поле неизбежно вырождено. Собственно, рассуждение выше даст какое-то a, которое равно нулю лишь при t=1, что и делает вырожденным само поле f(x). Предположение, что касательное поле невырожденно, приводит к противоречию.
Под причесыванием мы подразумеваем укладывание иголок ежа или волос по касательной к коже. Соответственно, невозможно причесать шар, покрытый иголками или волосами. Неизбежно будет "макушка". Голова не покрыта волосами полностью, но на полусфере тоже невозможно задать невырожденное касательное поле. Потому что его можно продолжить на всю сферу --- симметрично.
Скорость ветра можно считать касательным полем к Земной сфере. Она не может быть ненулевой повсюду --- неизбежен циклон или антициклон.
Если сферу деформировать без разрывов и склеек (гомеоморфно: взаимно однозначно и в обе стороны непрерывно) и с условием сохранения непрерывности заданного на сфере векторного поля, до результат сохранится. В самом деле, если на эллипсоиде, к примеру, невырожденное касательное поле есть, то после преобразования в сферу оно появится на сфере. Таким образом, дело не в сфере как таковой. А вот тор, например, сфере не гомеоморфный, невырожденным касательным полем обладает.
А что у нас с четномерными пространствами? Наше доказательство дает только одно: если невырожденное касательное поле существует, то его вращение равно единице. В двумерном пространстве, очевидно, такое поле существует: вектору (x,y) сопоставим вектор (-y,x). Тот же финт работает и для четырехмерного пространства: единичному вектору (x,y,z,t) сопоставим вектор (-y,x,-t,z) --- он касательный и единичный (и потому не равен нулю). Собственно, теперь вопрос закрыт: в четномерном пространстве невырожденное касательное поле на сфере --- возможно. В нечетномерном --- нет.
