Я уже рассказывал про аналитические функции комплексной переменной и их удивительные свойства. У такой функции, если она не константа, обязательно есть особые точки, конечные или бесконечная. Такая функция раскладывается в степенной ряд в окрестности неособой точки, который к ней сходится в некотором круге, на границе которого есть особая точка. Функцию, заданную хоть где-нибудь, можно такими кругами продолжить "всюду, куда можно" --- в обычных случаях, на всю плоскость, с обходом особых точек.
Если особая точка одна, то кругов понадобится бесконечно много. Однако можно разложить функцию в особый ряд по целым степеням, который называется рядом Лорана, и это довольно красиво.
Итак, ряд Лорана сходится в кольце между двумя окружностями. Слагаемые с неотрицательными степенями называются регулярной частью, слагаемые с отрицательными степенями --- главной.
Особые точки делятся на три типа. Устранимые, в которых есть предел --- в них функцию можно доопределить и они перестанут быть особыми. Пример: sin(x)/x или (1-cos(x))/x^2. Полюсы, в которых есть бесконечный предел; пример --- 1/х. Существенно особые точки, в которых предела нет, функция принимает в любой окрестности либо все значения, либо все, кроме одного.
Так вот, если главная часть ряда Лорана отсутствует, то особая точка устранимая, что и логично. Если конечная --- содержит конечное число слагаемых --- то это полюс. Если же слагаемых бесконечно много, то это существенно особая точка.
Пусть нуль --- единственная особая точка. Теперь возьмем интеграл по пути, обходящем нуль, от какой-нибудь степени, кроме минус первой. Мы уже обсуждали, что путь можно заменить на единичную окружность, тогда z = exp(it), dz = izdt, и интеграл равен нулю. От минус первой степени --- не равен.
Достаточно и того, чтобы внутри контура не было других особых точек. Ну и нуль чисто для удобства, могла бы быть любая точка.
Получается, что если разложить функцию в ряд Лорана и проинтегрировать по контуру без других особых точек внутри, то "выживет" только одно слагаемое --- соответствующее степени -1. Коэффициент при этой степени играет особую роль, и называется вычетом.
Зная вычеты особых точек, попавших внутрь контура, можно легко посчитать интеграл по этому контуру, просто сложив вычеты и умножив на константу 2пi.
Все сказанное относится к функциям, определенным на всей плоскости, кроме конечного числа особых точек.
Как по мне, так довольно удивительно, что интеграл определяется особыми точками функции, которые вообще-то далеко от контура интегрирования, да еще и одним-единственным коэффициентом лорановского разложения --- при степени "минус один". Что-то в этом есть такое красивое...