Сверхзолотое сечение: знали о таком?

Подписывайтесь на канал в Яндекс. Дзен или на канал в телеграм "Математика не для всех", чтобы не пропустить интересующие Вас материалы. Также есть группы в VK, Одноклассниках и Facebook : всё для математического просвещения!

В одном из своих материалов я рассказывал про серебряное сечение и кратко упоминал, что существуют и другие виды "металлических" сечений. Особняком, конечно, стоит золотое, но сегодня хотелось бы поговорить о еще одном представителе этого "семейства" - сверхзолотом сечении. Поехали!

Последовательность коров Нараяны

Если золотое сечение возникает из задачи о кроликах, то сверхзолотое - из задачи о коровах, сформулированной средневековым индийским поэтом и математиком Нараяна Бхаттатири. Задача формулируется следующим образом:

Пусть есть одна пара крупного рогатого скота. Они начинают размножаться через три месяца и после этого каждый месяц приносят по разнополой паре. Сколько пар будет через n месяцев?

Коровы не умирают

Таким образом, по месяцам последовательность имеет такие значения:

1,1,1,2,3,4, 6, 9, 13, 19, 28, 41, 60...

Другая интерпретация - геометрическая. Отношение сторон x/(1-x) должно равняться отношениям площадей 1/(x^2)

Сверхзолотое сечение является пределом соотношения элементов этой последовательности и является вещественным корнем следующего уравнения:

Давайте собственноручно найдем сверхзолотое сечение и заодно потренируемся в решении кубических уравнений.

Если сопоставить коэффициенты уравнения с общей формулой многочлена третьей степени, то можно получить коэффициенты а,b,c и d, необходимые для дальнейшего решения и замены переменной.

После замены переменной получаем приведенное кубическое уравнение, готовое для решения по формуле Кардано:

Знак величины Q определяет, что у исходного уравнения есть только один вещественный корень, который вычисляется по формуле:

Вот так мы с Вами нашли сверхзолотое сечение, попутно применив замечательную формулу Кардано, которая, между прочим, явилась основанием для создания поля комплексных чисел.

Хотите еще красоты ? Почитайте про самое удивительное математическое совпадение, в котором есть золотое сечение!

**************************************************************************

Путеводитель по каналу "Математика не для всех"

Спасибо! Надеюсь, было очень интересно и познавательно! Буду рад, если Вы поддержите меня ПОДПИСКОЙ, ЛАЙКОМ или даже критическим комментарием. ССЫЛКА НА ДЗЕН-КАНАЛ и TELEGRAM.

**************************************************************************