В комментариях один человек написал, что параллельные прямые в геометрии Евклида пересекаются: в бесконечности. Это ему известно со школы. Мне стало интересно: я-то всегда считал, что параллельные прямые на плоскости по определению не пересекаются в геометрии Евклида. Каюсь, Евклида я не читал, даже в переводе, не говоря уж про древнегреческий оригинал. И я решил наверстать упущенное. (Нет, не читать Евклида).
Нарисовав две параллельные прямые вертикально, я уставился на них. Они шли вверх и вниз, и очевидно, пересекались и там и там. Это одна бесконечность или две разные?, задумался я. Если две, то прямые совпадают (хотя они явно были различны), ведь через две точки проходит единственная прямая. Значит --- одна. Пока всё шло неплохо.
Но, нарисовав две перпендикулярные прямые, я с ужасом осознал: они пересекаются в двух точках! Одну я видел, другая была в бесконечности. Было похоже, что все прямые совпадают, что было не очень хорошо. Правда, можно было предположить: все прямые --- это одна и та же прямая, проходящая через бесконечность много-много раз. У Евклида такого точно не было!
Я нарисовал две точки на прямой. Из трех точек --- двух моих и бесконечности --- одна должна лежать между двумя другими. Какая?
"Не занудствуй!" - прикрикнул я на себя. Подумаешь, аксиома! Вон, на сфере они ослаблены, и ничего. В темном углу сгустились две тени в древнегреческих туниках. Они стали совещаться на койне с примесью дорического диалекта (я не силен в греческом --- кроме "эвхаристо", сиречь "спасибо", ничего и не знаю, так что ручаться не могу). Я разобрал слово "тригоном".
Точно! Я нарисовал две прямые и соединил их общим перпендикуляром. Получился треугольник, две вершины были передо мною, а третья --- в бесконечности. Два прямых угла давали в сумме 180 градусов, но третий-то угол был нуль, так что я явно был на верном пути.
Однако что-то было не так! Под первым треугольником был второй, который шел "вниз". Он явно отличался от первого, однако они совпадали: ведь у них были одни и те же вершины.
Тени приблизились. В одной я узнал Евклида, в другой --- Пифагора. "Калимера" --- сказал я, не знаю почему. Гости молчали укоризненно. Евклид указал перстом на Пифагора.
О, треугольники-то были прямоугольные! Выбрав одну из сторон за гипотенузу, я записал теорему моего гостя: ∞^2 + 1^2 = ∞^2.
"Ну и что?!" - сказал я по-древнегречески. "Бесконечность плюс число --- это бесконечность, всё нормально!". "Заткнись, недостойный!" - провозгласил Евклид на том же наречии. "Движения плоскости изометричны --- не меняют расстояний и углов!". Я понял. Сдвинув одну из прямых на один локоть в сторону, я получал треугольник, у которого одна сторона выросла, а две другие --- нет. Теорема Пифагора не работала!
Пифагор показал мне неприличный древнегреческий жест и фигуры растаяли. Я проснулся. Чай остыл. Страшное подозрение овладело мной. Не может же человек, который не разбирается в теме, писать агрессивные комментарии! Или может? "Неужели среди москвичей есть мошенники?". Я не знаю ответа на этот вопрос.
***
Бесконечность добавить, конечно, можно. Но не к плоскости Евклида. Можно добавить много бесконечно удаленных точек, которые образуют бесконечно удаленную прямую. Получится проективная геометрия.
Можно добавить одну точку и получится сфера Римана, на которой вполне себе есть сферическая геометрия.
Много чего можно; но не всё. И хоть руки в нашем деле не отрывает и заразиться чем-то неприятным риска нет, определенную технику безопасности соблюдать все-таки стоит.