5 класс. Натуральные числа. Признаки делимости чисел.
ПЛЕЙЛИСТ
Литература
1. Шевченко Н.Н. Арифметика. Учебник для 5-6 классов средней школы Москва. 1966 г. 212 с.
5. Шевкин А.В. Текстовые задачи по математике 2016.Москва. 103 стр.
6. Березанская Е.С. Сборник задач и упражнений по арифметике Москва.1933. 104 с.
7. Узорова О. 2500 задач для начальной школы. Аст. 2017. 255 с.
Делители и кратные
1. Что называется, делителем данного натурального числа?
Делителем данного натурального числа называется такое число, на которое данное число делится без остатка.
Например: Дано число 6, тогда его делителями будут 1, 2, 3, 6.
2. Что называется кратным данного натурального числа?
Кратным данного натурального числа называется всякое натуральное число, которое делится на данное число без остатка.
Например: Дано число 6, тогда числами кратные 6 будут 6, 12, 18, 24, 30.... и т.д. Кратных чисел бесконечно много.
Делимость суммы и разности.
Если каждое из слагаемых делится на данное число, то и сумма разделит на это число.
Если уменьшаемое и вычитаемое делится на данное число, то и разность разделится на это число.
Например, 45 и 20 делятся на 5.
Тогда их сумма 65 и разность 25, разделятся на 5.
Отметим, что обратное может быть неверным.
Например, 25 делится на 5, но слагаемые 19 и 6 не делятся на 5.
-----------------------------------------------------------------------------
Признаки делимости
3. Сформулировать признаки делимости чисел на 10, 5, 2, 3, 9, 4, 6, 100.
1) Если число оканчивается на 0, то оно делится на 10.
2) Если число оканчивается на 0 или 5, то оно делится на 5.
3) Если число оканчивается на 0 или чётную цифру 2, 4, 6, 8, то оно делится на 2.
4) Если сумма цифр числа делится на 3, то и само число делится на 3.
5) Если сумма цифр числа делится на 9, то и само число делится на 9.
6) Если две последние цифры числа образуют двухзначное число, делящееся на 4, то и само число делится на 4.
7) Если число делится на 2 и на 3, оно делится и на 6.
8) Если число оканчивается на два нуля 00, то оно делится на 100.
Признак делимости на 2
-----------------------------------------------------------------------
Признак делимости на 10
Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на ноль.
Примеры:
10, 110, 1500, 12760 – кратные 10 числа, последняя цифра – 0.
53, 117, 1254, 2763 – не делятся на 10.
Признак делимости на 5
Примеры:
10, 65, 125, 300, 3480 – делятся на 5, т.к. оканчиваются на 0 или 5.
13, 67, 108, 649, 16793 – не делятся на 5, т.к. их последние цифры – не 0 или 5.
Признак делимости на 2
Примеры:
6, 34, 58, 114, 2034 – последние цифры этих чисел четные, значит они делятся на 2.
7, 15, 39, 47, 153, 1571 – не делятся на 2, т.к. их последние цифры являются нечетными.
Признак делимости на 3
Примеры:
18 – делится на 3, т.к. 1 + 8 = 9, а число 9 делится на 3 (9:3=3).
48 – делится на 3, т.к. 4 + 8 = 12, а число 12 делится на 3 так как 1+2 =3 (3:3=1).
132 – делится на 3, т.к. 1+3+2=6, а 6:3=2.
614 – не кратно 3, т.к. 6+1+4=11, а 11 не делится без остатка на 3 (11:3=32/3).
Признак делимости на 6
Примеры:
486 – делится на 6, т.к. делится на 2 (последняя цифра 6 – четная) и на 3 (4+8+6=18, 18:3=6).
712 – не делится на 6, т.к. оно кратно только 2.
1345 – не делится на 6, т.к. не является кратным ни 2, ни 3.
Признак делимости на 9
Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма всех его цифр, также, делится на девять.
Примеры:
324 – делится на 9, т.к. 3+2+4=9, а 9:9=1.
921 – не делится на 9, т.к. 9+2+1=12, а 12:9=11/3.
Признак делимости на 4
Примеры:
344 – делится на 4, т.к. 44 кратно 4 (4⋅2+4=12, 12:4=3).
5219 – не кратно 4, т.к. 19 не делится нацело на 4.
Признак делимости на 7
Примеры:
91 – делится на 7, т.к. 9⋅3+1=28, а 28:7=4.
105 – делится на 7, т.к. 10⋅3+5=35, а 35:7=5 (в числе 105 – десять десятков).
812 – делится на 7. Здесь следующая цепочка: 81⋅3+2=245, 24⋅3+5=77, 7⋅3+7=28, а 28:7=4.
302 – не делится на 7, т.к. 30⋅3+2=92, 9⋅3+2=29, а число 29 на 7 не делится.
Признак делимости на 8
Трехзначное число
Число делится на 8 тогда и только тогда, когда сумма цифры в разряде единиц, удвоенной цифры в разряде десятков и учетверенной в разряде сотен делится на восемь.
Примеры:
264 – делится 8, т.к. 2⋅4+6⋅2+4=24, а 24:8=3.
716 – не делится 8, т.к. 7⋅4+1⋅2+6=36, а 36:8=41/2.
Число разрядов больше 3
Число делится на 8, когда три последние цифры образуют число, делящееся на 8.
Примеры:
2336 – делится на 8, т.к. 336 кратно 8.
12547 – не кратно 8, т.к. 547 не делится без остатка на восемь.
О чётных и нечётных числах
4. Какие цифры называются чётными?
Цифры 0, 2, 4, 6, 8 – чётные, цифры 1, 3, 5, 7, 9 - нечётные
5. Какие числа называются чётными?
Чётным числом называется число, которое делится на 2.
6. Чётные числа n представимы в виде n = 2 х k, где k - некоторое натуральное число , т.е. n = 2, 4, 6, 8, ... четные числа
Следовательно, суждения:
S1 = {число чётное},
S2 = {число делится на 2},
S3 = {число представимо в виде n = 2 х k} ,
являются эквивалентными простыми суждениями
математически это можно выразить записью
S1 <--- > S2 <--- > S3 где <---> -- знак эквивалентности.
и читается
S1 тогда и только тогда, когда S2.
S2 тогда и только тогда, когда S3.
7. Какое число называется нечётным?
Нечётным числом называется число, которое не делится на 2. Нечётные числа n представимы в виде n = 2 ´ k +1, где kÎN , т.е. n = 1, 3, 5, 7, 9, ... .
Признаки равенства натуральных чисел
14. Какие числа называются равными?
А)Если числа указывают на одинаковое количество предметов, то они называются равными.
Б)Если числа содержат одинаковое количество единиц, то они равны.
В)Если числа находятся на одном и том же месте в натуральном ряде, то они равны.
15. Перечислить признаки равенства натуральных чисел.
А)Если разность двух чисел равно нулю, то числа равны.
Если m - n =0, то m = n
Б)Если частное двух чисел равно единице, то числа равны.
Если m : n = 1 , то m = n.