В общей теории относительности нет проблем в том смысле, в котором их ищут ниспровергатели. А о тех, что есть, я расскажу в этой заметке, ну и что такое ОТО --- кратко.
На ОТО можно смотреть двояко. С одной стороны, это развитие специальной теории относительности, которая рассматривает только инерциальные системы отсчета --- равномерно прямолинейно движущиеся относительно друг друга. В ОТО все системы отсчета равноправны. С другой стороны, ОТО описывает гравитацию.
Эта двойственность приводит к спорам. Можно работать в быстро вращающейся системе отсчета и иметь дело с сильным гравитационным полем, которое исчезнет при переходе к другим координатам. Однако реальную гравитацию небесных тел убрать не удастся никак, и эту гравитацию ОТО естественно и красиво описывает.
Соответственно, можно выбирать наиболее естественные системы координат и работать в них, держа математическое равноправие любых систем как приятное свойство в шкафу. Можно же танцевать от этого принципа, считая все системы отсчета равноправными и вводя фиктивные гравитационные поля без явного физического смысла.
Однородное гравитационное поле можно убрать локально, введя свободно падающую систему отсчета. Но только локально --- в пределах малой области --- и только равномерное поле. Если поле неравномерное, как это обычно бывает, возникнут неустранимые приливные силы: ноги притягиваются сильнее, чем голова (если падать вперед ногами, конечно).
Кстати, падающая система отсчета играет роль инерциальной в ОТО, и в ней я, сидящий неподвижно в кресле с ноутбуком на коленях, ускоряюсь вверх с ускорением g. А та, в которой не ускоряюсь, ускоряется сама.
Ну, вот мы и подошли к принципу эквивалентности. Гравитация неотличима от ускорения. И то, и другое проявляется как кривизна линий в релятивистском пространстве-времени.
Поясню. Рассмотрим ракету, летящую в космосе с ускорением. Космонавт стоит на полу, потому что пол "догоняет" его и ускоряет его, давит на его подошвы. Если космонавт уронит предмет, тот упадет на пол, потому что пол его догонит. Без ускорения скорость ракеты и предмета в ней одна и та же, а с уксорением --- нет. Заметьте, что масса предмета роли не играет, ускорение одно и то же. Луч света, влетевший в окошко на высоте 2 метра, вылетит в другое окошко чуть ниже, ибо ракета успеет немного продвинуться.
С гравитацией все так же. Ракета стоит на Земле, космонавт стоит в ракете, предметы падают одинаково, луч света искривляется.
Здесь нет проблем, как бы кто-то их не искал.
Второй принцип --- метродинамика. Пространство-время псевдориманово, квадрат расстояний в нем может быть больше нуля, меньше нуля и равен нулю. В первом случае точки-события простраственно-подобны, они могут быть одновременны или не одновременны, в зависимости от точки зрения, причем какая раньше --- тоже относительно. Во втором случае события времени-подобны, их последовательность фиксирована. В третьем --- светоподобны. Линии наименьшей кривизны, они же линии кратчайших расстояний --- геодезические. Движение возможно только по времени-подобным геодезическим, или светоподобным для света и безмассовых частиц.
В плоском пространстве геодезические --- прямые. Кривые соответствуют ускоренным движениям. В кривом пространстве прямых нет, вместо них геодезические --- кривые, что соответствует и ускорениям, и гравитации.
Вся геометрия пространства-времени описывается метрическим тензором --- матрицей, заданной в каждой точке. Уравнения Эйнштейна выражают сложным образом этот тензор через тензор энергии-импульса, то есть --- распределение масс, энергии, импульса и кое-чего еще в пространстве.
Здесь есть одна проблема. В искривленном пространстве нет симметрий, а значит --- нет законов сохранения. На самом деле, это не страшно. Дело не в том, что не сохраняется то, что должно; просто нет величин, которые бы сохранялись: то есть их интеграл по пространству в один момент времени постоянен во времени.
Для начала, "в один момент времени" --- уже проблема. Время в разных точках пространства разное. И потом, энергию, например, чтобы она сохранялась, надо учесть всю. Здесь есть энергия гравитационного поля, которая может перейти в кинетическую, но она нелокальна --- не сосредоточена в окрестности данной точки, как кинетическая или потенциальная. Вечный двигатель в ОТО построить нельзя --- это теорема.
Мне симпатична точка зрения, что энергия гравитационного поля --- это левая часть уравнения со знаком минус. Тогда сумма энергии-импульса (справа) и энергии гравитации (слева) равна нулю и сохраняется.
Еще одной проблемой, до некоторой степени, явлется нелинейность уравнений. То есть гравитация может взаимодействовать сама с собой. Для несильных полей, вроде Земли или даже Солнца, можно использовать линейное приближение. В сильных полях нельзя и там возможны интересные эффекты. Это не то чтобы проблема... скорее, трудность.
Математическая сложность --- тоже проблема. Достаточно сказать, что численное решение уравнений было получено лишь в 2004 году! Почти через 90 лет после открытия самих уравнений! Там были серьезные проблемы вычислительного плана (кто решал нелинейные уравнения численно --- поймут), и мощность компьютеров тут не спасает. Численное получение формы сигнала гравитационной волны позволило поймать его лабораторией LIGO и открыть гравитационные волны.
Наличие странных решений, например, решение Гёделя для вращающейся Вселенной, в которой возможны замкнутые пространственно-временные геодезические, то есть петли времени --- не проблема. Мало ли какие решения могут быть у уравнений!
Наличие сингулярностей --- точек, в которых кривизна пространства обращается в бесконечность --- проблема. Тут ничего не поделаешь, причем черные дыры, похоже, реально существуют. Здесь нужна более полная теория --- теория квантовой гравитации --- на роль которой претендует теория суперструн (удачи ей).
То же касается и проблемы несовместимости ОТО с квантовой механикой. Единая теория совместит.
Что касается экспериментальных проверок, то я не буду их перечислять. Откройте Википедию и references therein, как говорится. Достаточно и того, что их действительно много и эффекты ОТО учитываются в спутниковой навигации.