Помните, как в книжке "Понедельник начинается в субботу" Стругацких один из героев говорит: "мы знаем, что задача не решается; мы хотим знать, как ее решать". Эту фразу можно сделать девизом прикладной математики. Одна или две заметки под этим лозунгом у меня уже есть, и еще несколько будет.
Итак, ряд расходится; что с этим делать? Можно смириться, расходится и ладно. Иногда начальный отрезок ряда дает годное приближение, кстати, а расходимость какая-нибудь ультрафиолетовая --- много лет может оставаться проблемой, которую можно и приходится игнорировать.
Можно попробовать определить сумму так, чтобы сходящиеся ряды не пострадали, а расходящиеся, не все, конечно, сумму в новом смысле получили. Если попасть в десятку (а мы говорили, что математики исследуют реальность и часто находят то, что не ожидали найти), то этот метод даст свои плоды.
Давайте же обсудим несколько таких подходов. Сначала бегло пройдемся по ключевым понятиям.
Последовательность a(n) сходится к числу a, если расстояние между a(n) и a можно сделать меньше любого выбранного числа, если n достаточно велики. Ряд (бесконечная сумма) сходится, если сходится последовательность его частичных сумм: сумм первых n членов.
Один способ определить сумму сходящегося степенного ряда (а часто и вообще функционального) --- аналитическое продолжение. Если ряд сходится, хоть где-нибудь, он определяет некоторую функцию. Если ряд степенной, функция аналитическая; если не степенной, то часто все равно она аналитическая (Дзета Римана, например). Это позволяет определить ее в некотором круге на комплексной плоскости и потом такими кругами расширять область определения. В итоге, например, 1+x+x^2+...+x^n=1/(1-x), и можно с натяжкой сказать, что в точке x=42 сумма ряда равна -1/41. Но с большой натяжкой, потому что это не сумма ряда, конечно. Однако, некоторый свет это проливает.
UPDATE: Есть люди, не очень умные, как мне кажется, у которых печаталка комментариев работает быстрее мозга; они пишут всякие глупости, которые я не всегда успеваю и не всегда хочу удалять. Им ничего не объяснишь, потому что они ***, но на всякий случай я поясняю предельно понятно. Итак, числовой ряд 1+x+x^2+...+x^n при x=42 расходится; однако он, как функциональный ряд, сходится к аналитической функции 1/(1-x), которая определена во всей комплексной плоскости, кроме точки x=1 (в которой у функции полюс). При любых x, кроме единицы, эта функция, сумма ряда, имеет единственное значение. В этом, и только в этом смысле сумма данного ряда имеет данное значение в данной точке. Я понятно объяснил?
Второй способ противоположен первому. В первом мы работаем с аналитическими функциями, которые бесконечно хороши: и производные у них все есть, и ведут себя прилично, слишком хорошо, чтобы быть правдой. Однако чудесным образом "все" элементарные и многие неэлементарные функции аналитические.
Ну ладно, не все, корень и дробные степени, например, нарушают условие Коши-Римана в нуле (но в остальных точках они таки аналитические!).
Так вот, второй способ --- это обобщенные функции, они же распределения. Не вероятностные распределения, а просто distributions. О них будет особая заметка, а пока скажу только, что можно определить некоторое обобщение понятия функции. Самая известная обобщенная функция --- дельта Дирака. Это плотность материальной точки: вне нуля нуль, в нуле бесконечность, интеграл по всей оси равен единицу. Или мгновенный удар: до удара силы нет, после тоже, но интеграл от силы (изменение импульса) равен единице: покоящийся шарик покатился.
Дельта не может быть функцией, но она есть. Как обобщенная. Обобщенные функции можно дифференцировать без ограничений.
Вот такая дуальность: "хорошие" аналитические и "сколь угодно плохие" обобщенные --- можно дифференцировать без проблем, менять местами знаки ряда, интеграла и производной и тому подобное.
Например, производная дельты --- это диполь: слева от нуля заряда нет, справа тоже нет, а в нуле сидят рядом бесконечно большой минус и бесконечно большой плюс. Ну, или производная от силы при мгновенном ударе: до удара силы нет, потом за нулевое время разгон до бесконечности, торможение до минус бесконечности и потом опять нуль.
Так вот, например, ряд Фурье (по синусам и косинусам) для обычных функций имеет коэффициенты, стремящиеся к нулю; и то ряд может расходиться. Причем, чем быстрее убывают коэффициенты, тем функция "лучше". А если коэффициенты к нулю не стремятся, то ряд расходится точно. Но для обобщенных функций ряд Фурье может иметь растущие коэффициенты, но не быстрее, чем степень (это таит глубокий смысл, о котором в другой раз). Например, сумма косинусов (cos(nx)) дает дельту с постоянным множителем (на отрезке, конечно). Коэффициенты не убывают, все равны единичке. Таким образом, некоторые расходящиеся функциональные ряды суммируются как обобщенные.
Третий способ. Есть способы расширить понятие предела: через бесконечные матрицы. Не буду вдаваться в детали, остановлюсь на полезной частности: предел Чезаро.
Предел последовательности a(n) по Чезаро --- это предел средних арифметических: a(1), (a(1)+a(2))/2, (a(1)+a(2)+a(3))/3, и так далее. Сумму первых n членов делим на n.
Если последовательность сходится в обычном смысле, то при больших n она почти постоянна, а средние будут стягиваться к этому значению. Поэтому предел по Чезаро совпадает с обычным. Однако, например, для последовательности 1, -1, 1, -1, ..., -(-1)^n, которая предела, очевидно, не имеет, предел по Чезаро есть: это нуль. В самом деле, при четных n суммы равны нулю и средние тоже, а при нечетных суммы равны 1, а средние 1/n, что стремится к нулю.
Ряд по Чезаро сходится, если сходится по Чезаро последовательность частичных сумм. Да, суммы от сумм, неудобно. Но что поделать!
Ряд 1-1+1-1... сходится по Чезаро к 0.5. В самом деле, последовательность частичных сумм есть 1,0,1,0,... Четные средние просто равны 0.5, нечетные стремятся к 0.5.
Забавно, что ряд 1-1+1-1+... можно представить как 1-x+x^2-x^3+... при x=1; но этот ряд сходится к функции 1/(1+x), которая определена при x=1 и равна там как раз 0.5.
Еще забавнее такой способ: Обозначим сумму ряда 1-1+1-1... через Q; тогда Q=1-Q, откуда Q=0.5.
Вот как приятно пригождается такая вроде бы искусственная конструкция. Известно, что для любой локально интегрируемой функции можно записать ряд Фурье --- надо лишь, чтобы интегралы можно было посчитать. Но ряд к этой функции поточечно сходиться не обязан. Иногда сходится в каком-то другом смысле, в L2, например; иногда и того нет.
Но породившую ряд функцию всегда можно по этому ряду восстановить! Как? Вы угадали. Сумма ряда по Чезаро всегда дает породившую ряд функцию --- поточечно.
Это уже полезно и практично. Получается, что мы не зря изобретали способ просуммировать расходящийся ряд 1-1+1-1... Это не блажь и не гимнастика ума: за этим стоит некоторая математическая реальность.