Что может быть проще сферы? Плоскость проще, но она какая-то бесконечная, ну дело вкуса. Сфера вторая по простоте, казалось бы... мячики, мыльные пузыри, планеты и звезды, в конце концов...
Но сюрпризов сфера преподносит --- множество. Давайте обсудим несколько, не претендуя на полноту. Начнем с распространенного заблуждения, что "внутренняя сторона" сферы имеет отрицательную кривизну. Нет у сферы никаких сторон! То есть, она, конечно, добропорядочная двусторонняя поверхность, в отличие от ленты Мёбиуса, но она поверхность, нулевой толщины, и кривизна у нее положительная, постоянная в каждой точке.
Точнее, главные кривизны в каждой точке одинаковы, во всех точках одни и те же, равны 1/R; так что гауссова кривизна в каждой точке 1/R^2, а средняя 1/R. Интеграл от гауссовой кривизны для всех сфер (и не только сфер) один и тот же, равен 4п, то есть 2п на эйлерову характеристику поверхности, каковая для сферы равна двум.
Если мы рассмотрим сферический слой, то есть пространство между двумя сферами с общим центром, то у него граница состоит из двух сфер, внешней и внутренней; но это сферы, и кривизна у них положительная.
Давайте дальше. Кратчайшим путем на сфере является дуга большого круга --- того же радиуса, что и сфера. Большие круги являются геодезическими, то есть параллельно перенесенный вдоль них касательный вектор остается касательным. (Кроме того, эти линии менее всего отличаются от прямых --- у них самая малая кривизна, которая возможна на сфере). Меридианы являются большими кругами (точнее, половинками их), а параллели --- нет, кроме экватора. Соответственно, кратчайшее расстояние между точками одной широты --- отнюдь не по параллели. Скорее, по меридиану, через полюс, если широта большая.
Однако не всякая дуга большого круга --- кратчайшее расстояние. пара точек делит круг на две дуги, побольше и поменьше --- короткая кратчайшая, а длинная --- нет. Она не кратчайшая даже локально --- среди близких путей (я сам так думал когда-то, это совсем не очевидно). Длиннейшей она тоже не является. Однако они стационарны, на них обращается в нуль вариация: если немного пошевелить кривую (отклониться от намеченного маршрута), то длина пути увеличится ненамного, по сравнению с возмущением пути.
На сфере можно развернуться, не делая поворотов относительно сферы. Мы уже обсуждали это. Идите с полюса вперед, до экватора, потом бочком на полоборота, потом спиной вперед до полюса. Вы на полюсе, но развернулись, хотя смотрели все время на юг.
Вот так и законы сохранения нарушаются в искривленных пространствах!
Геометрия сферы отличается от геометрии пространства. Горизонтальная поверхность --- это сфера. Это поверхность постоянной гравитации, на которой сила тяжести постоянна. Приближение бета-плоскости --- касательной плоскостью в точке --- мы называем плоскостью горизонтали. Вертикаль --- направление силы тяжести --- это радиус. В разных точках сферы он направлен по-разному, очевидно. Горизонтальные плоскости тоже разные. Это выстреливает вот в каком парадоксе (Перельман, Занимательная физика).
Пророем прямой туннель между двумя точками на сфере (городами). Будучи прямым с точки зрения трехмерного пространства (и свет проходит по нему напрямую), он не прямой с точки зрения жителя сферы (вас, меня): ведь концы на поверхности, а середина --- в глубине планеты. Туннель уходит вниз, а потом идет вверх. Если выкачать воздух и запустить внутрь тележку, она покатится вниз сама и потом по инерции выкатится с другой стороны. Так можно (было бы) возить товары без затрат топлива.
Такой туннель будет странно выглядеть: он явно идет вниз, а потом вверх, но при этом он весь напросвет виден (правда, на масштабах сотен километров ничего там не будет видно, конечно).
Правда, сила Кориолиса будет немного против, создавая давление на тележку со стороны стенки туннеля. Кроме того, если выход немного ниже эквипотенциальной поверхности, тележка может вылететь из выхода (правда, тормоза же есть), а если выше, то не докатится, плюс трение (но можно же поставить двигатель все-таки).
А если прорыть туннель через центр, особенно между полюсами, то и тележек не надо: кинул в дырку мешок, поймал на другом конце. Жаль, что это невозможно.
Сферу нельзя отобразить на плоскость без искажений: либо расстояния, либо углы, либо площади, либо все вместе --- будет неправильно. Широко известно, что в той проекции, в которой чаще всего рисуют карты, площадь близ полюсов завышена. Поэтому Россия, хоть и самая большая страна, но все же намного меньше Африки, а на карте почти такая же. А Гренландия вообще маленькая, хотя по карте тоже Африке не сильно уступает. Антарктида тоже --- на карте она длинная такая, и большая, а на самом деле намного меньше и почти круглая.
Обернем глобус цилиндром так, чтобы касался по экватору. Проведем радиусы цилиндра --- они отобразят точки сферы на цилиндр. Искажения будут сильными у полюсов, но площади --- сохраняются. Потому что расстояния с севера на юг сжимаются, а запада на восток --- растягиваются, во столько же раз вблизи данной точки. Задачка, по-видимому, принадлежит В. Арнольду.
Шар притягивает материальную точку вне себя так, как материальная точка той же массы в центре шара. Это очень важная теорема, которая подводит основание под само понятие материальной точки. Теорема довольно очевидна с точки зрения симметрии, см. картинку. Две точки шара притягивают тело одинаково --- при этом притяжение к центру удваивается, а под прямым углом --- сокращается.
Плотность шара постоянна или, по меньшей мере, сферически симметрична --- зависит только от расстояния до центра.
Наконец, самое неожиданное, на мой взгляд. Точку внутри шара притягивает только та часть шара, которая лежит ниже. То есть, если вы углубитесь на глубину h, то вас притягивает шарик радиуса R-h, а толща над вами вас никак не притягивает. Если найти полую планету, то там, внутри, будет невесомость, и не важно, какова масса этой планеты.
Лишь бы плотность была сферически симметрична!
Если я не путаю, то в книге "Незнайка на Луне" в полой Луне не было невесомости. Если так, то налицо ошибка, которая, впрочем, художественной ценности сказки не умаляет.
Почему так --- легко понять, если хорошо умеете работать с бесконечно-малыми величинами. См. рисунок.
Возьмем тонкий сферический слой --- на такие можно расслоить хоть сферу, хоть толстый сферический слой. Возьмем точку внутри внутренней сферы-границы этого слоя, любую. Выпустим из нее телесный угол --- узкий конус. Он высечет из нашего слоя два куска, небольших по площади. Площадь куска пропорциональна квадрату расстояния до него, что ясно из соображений размерности. Масса куска, поскольку он почти плоский, пропорциональна площади, толщине слоя (одной и той же повсюду) и плотности (тоже постоянной). Притяжение же со стороны куска пропорционально массе куска и обратно пропорционально квадрату расстояния. Получается, что сила притяжения со стороны обоих кусков --- одна и та же. Они уравновешивают друг друга. И это так для любых направлений и для всех точек внутри сферы. Всё.