Найти в Дзене
И.Л.Семенов (геометрия ОГЭ, ЕГЭ)
565 подписчиков

1. Удивительный треугольник в квадрате

666
~1 мин

См. также задание.

На чертежах изображены:
1) квадрат (четырехугольник серого цвета) и его диагональ;
2) треугольник (оранжевый цвет), одна из вершин которого совпадает в вершиной квадрата;
3) отрезок фиолетового цвета — высота в треугольнике;
4) угол треугольника, совпадающий с вершиной квадрата, равен 45°.

Рис. 1. Докажите, что пять точек, обозначенных голубым цветом, лежат на одной окружности.
Рис. 1. Докажите, что пять точек, обозначенных голубым цветом, лежат на одной окружности.

Рис. 2. Докажите, что пять точек, обозначенных зеленым цветом, лежат на одной окружности.
Рис. 2. Докажите, что пять точек, обозначенных зеленым цветом, лежат на одной окружности.

Рис. 3. Докажите, что пять точек, обозначенных желтым цветом, лежат на одной окружности.
Рис. 3. Докажите, что пять точек, обозначенных желтым цветом, лежат на одной окружности.

Рис. 4. Докажите, что основания двух высот (фиолетовый цвет) треугольника лежат на диагонали квадрата.
Рис. 4. Докажите, что основания двух высот (фиолетовый цвет) треугольника лежат на диагонали квадрата.

Рис. 5. Докажите, что диагональ квадрата отсекает от оранжевого треугольника подобный ему треугольник. Докажите, что коэффициент подобия этих треугольников равен косинусу угла треугольника, обозначенного дугой серого цвета (вершина этого угла треугольника совпадает с вершиной квадрата)
Рис. 5. Докажите, что диагональ квадрата отсекает от оранжевого треугольника подобный ему треугольник. Докажите, что коэффициент подобия этих треугольников равен косинусу угла треугольника, обозначенного дугой серого цвета (вершина этого угла треугольника совпадает с вершиной квадрата)