Лучший экспромт — тот, который отрепетировали заранее.
Пантелею это было отлично известно, поэтому прежде чем пригласить на пикник прекрасную Матильду, он порепетировал это мероприятие, но не с ней, а с приятелем Корнеем. На берегу пруда Пантелей тренировался в раскладывании складных стульев и столика. Складные механизмы заедали, и у Пантелея никак не получалось разложить мебель изящно. А потом оказалось, что разложить — это еще полбеды: стол никак не желал стоять ровно.
— И кто это придумал делать четырехногие столы! — сердился Пантелей. — Делали бы трехногие, они, по крайней мере, не качаются!
— Почему это? — спросил Корней.
— Потому что плоскость можно провести через любые три точки, а вот с четырьмя может и не повезти. Как я стол ни поставлю, он обязательно стоит на трех ногах, а четвертая не достает до земли. Казалось бы, на трех точках опоры стол должен стоять устойчиво, однако же качается.
— И что делать? Здесь же земля неровная.
— Решение все равно существует, и я это докажу. Давай покрасим диагонально две ножки в красный цвет, а две другие в синий.
— Пантелей, а ты всегда краски с собой носишь?
— Конечно. Вдруг задачка по комбинаторной геометрии попадется, там всегда что-нибудь красить надо. — Пантелей даже засмотрелся, как расширяются глаза Корнея. — Вот я поставил стол, две красные ножки прочно стоят на земле, а из двух синих — только одна. Когда стол раскачивается, одна синяя нога на земле, а другая в воздухе, потом меняются.
— Ну синие, красные — это все условно. Пантелей, подумай сам: если повернуть стол на 90 градусов, то все будет наоборот. Стол будет опираться на две синие ножки, и на одну из красных, ведь он квадратный.
— Точно! И именно поэтому мы можем найти устойчивое положение! Вот смотри. Мы начинаем вращать стол из положения 2К1С — «на земле две красные ножки и одна синяя». Повернем его чуть-чуть — все равно на земле будут обе красные ножки, потом еще чуть-чуть, и еще... Повернув на 90 градусов, мы перейдем в положение 2С1К — «на земле две синие ножки и одна красная», но по дороге обязательно найдется промежуточное положение. Где-то мы перейдем из 2К1С в 2С1К, и в этот самый промежуточный момент стол будет опираться на землю всеми четырьмя ногами!
Друзья еще немного покрутили стол, и им действительно удалось поставить его ровно. А на следующий день Пантелей позвал прекрасную Матильду на пикник. И она согласилась и даже обрадовалась! И стол разложился без капризов самым изящным образом. Цветные ножки поразили Матильду, она спросила, зачем они такие разноцветные, и тогда Пантелей все ей рассказал.
«Математик», подумала Матильда с восхищением, посмотрела по сторонам, нашла подходящую досочку, подложила ее под синюю ножку, и стол качаться перестал.
«Инженер», подумал Пантелей с восхищением, посмотрел по сторонам, сорвал несколько ягод и подарил Матильде.
Неизвестно, приглашал ли Отто Тёплиц барышень на пикник, но в 1911 году он сформулировал в чем-то похожую задачу, которая много десятилетий не давала покоя математикам, и полностью не решена до сих пор.
Гипотеза Тёплица. На всякой простой замкнутой плоской жордановой кривой можно отыскать четыре точки, лежащие в вершинах квадрата.
Первую попытку доказать гипотезу предпринял Арнольд Эмч. Он доказал гипотезу Тёплица для «очень хороших» кривых, — состоящих из аналитических дуг. Главный момент в его рассуждениях — тот же, что и у Пантелея.
Со временем доказали разные варианты этой гипотезы — для выпуклых кривых, для гладких, для четырехугольников, отличных от квадрата…
Этим занимались Шнирельман, Громов, Акопян с Аввакумовым, Теренс Тао и другие.
Но до сих пор в первоначальном виде гипотезу Тёплица доказать не удалось. Нет в современной математике на то методов.
Еще нерешенные задачи:
Гёмбёц и моно-моноустойчивые многогранники
Гонки простых чисел О неожиданных закономерностях в распределении простых чисел
Даже не пытайтесь это решить Разрезание треугольника и круга
Нерешаемые задачи О целочисленных кирпичах
Как Гольдбах придумал не умножать простые числа, а складывать, и что из этого вышло
Прогресс в безнадежной задаче. О гипотезе Коллатца
10 простых на вид задач, которые могут поставить в тупик любого человека (На самом деле 9, потому что первая из этого списка решена)