Решение любой задачи по вычислению площади плоских объектов со сложными очертаниями (озера, реки и т.п.) можно свести к вычислению площади сложного многоугольника вписанного в прямоугольную сетку.
Очень часто Формулу Пика преподносят как лёгкий и бездумный метод решения геометрических задач на нахождение площадей многоугольников и советуют сдающим ЕГЭ школьниками просто запомнить правило нахождения решения.
ФОРМУЛА ГЕОРГА ПИКА (Теорема Пика) Площадь многоугольника с целочисленными вершинами равна В + Г / 2 − 1,где В — количество целочисленных точек внутри многоугольника, а Г — количество целочисленных точек на границе многоугольника.
Даже сторонники "старой школы" часто спорят между собой стоит ли предлагать такие способы решения геометрических задач по той причине, что "классика" предлагает всегда разбивать сложные фигуры на простые, а затем находить решение.
Фигура делится на простейшие (треугольники и прямоугольники) вычисляются площади простейших фигур, затем суммируются. Добавив отстояние от двух произвольных осей, можно найти "центр тяжести" фигуры. Так достаточно легко найти точку приложения ветрового опрокидывающего момента, действующего на судно во время шторма, например.
Часто слышу и такие изречения: "Урок математики не для того чтобы получить результат, это вам не физкультура! Это уроки где дети учатся думать и получают практические навыки. сам этого не понимал, но сейчас сталкиваясь с людями по некоторым работам. часто с банальными вещами втыкаюсь в стену непонимания."
Аргументы звучащие ПРОТИВ использования этой формулы таковы:
1 расчет приблизительный
2 расчет применим только для школьных задачек
3 этот метод не даёт понимания и навыка разделения сложной фигуры на простые
4 убивает логику
Аргументы звучащие ЗА использования этой формулы
Формула Пика крутая именно с практической т.зр. С ней легко посчитать площадь кривого водоема. Я как-то спрашивал у математиков , как правильно посчитать площадь кривого озера, не правильной формы. Никто не ответил. А тут всё просто!
Скорее всего споры учеников одной и той же школы но разных времен будут продолжаться вечно. Тут причина в том, что в современных учебниках появляются новые методы подсчетов и расчетов, а старые довольно часто просто не упоминаются.
Так и произошло с Формулой Пика которая входила очень давно в школьную программу (по свидетельствам очевидцев)
"Нас во 2-м классе (1962) учили так:
1. Сделать палетку - калька, разлинованная на квадраты а=5 мм;
2. Накладывает на ЛЮБУЮ фигуру ЛЮБОЙ формы;
3. Считаем число целых квадратов (а) и число квадратов (b), через которые проходит граница фигуры;
4. S = a + b/2 ."
Насколько я помню, учителя всегда поясняли , что данный метод является приближенным, такое пояснение есть во всех учебниках по отношению ко многим методам расчета.
Точность расчетов , как вы понимаете, сводится к точности измерений и тут только инструментальные ошибки будут вносить свою лепту в конечный результат.
Вспомните - Какова погрешность измерений с помощью обычной линейки с минимальным делением в 1 мм ?
Так что если говорить о том, что Теорема (а формула Пика это результат доказательства теоремы) Пика плоха, то и Теорему Пифагора придется предать такому же приговору.
Доказательство Теоремы Пика
Площадь треугольника с вершинами в узлах и не содержащего узлов ни внутри, ни на сторонах (кроме вершин), равна 1/2.
Этот факт даёт геометрическое доказательство формулы для разницы подходящих дробей цепной дроби.
И на последок небольшое замечание - Формула Пика работает не только для квадратной сетки - Ячейкой сетки могут быть и треугольники равной площади - это следует из самого доказательства Теоремы Пика.