Когда мы решаем задачи, то постепенно прокладываем путь к ответу, строя рассуждения как цепочку шагов, каждый из которых следует из предыдущих. Ну, по крайней мере, многие думают, что именно так мы решаем задачи.
Может быть. Может быть и так, но уж точно не всегда. Иногда мы просто видим решение, а только потом строим рассуждения в обоснование. Так, например, Риман увидел свою гипотезу (хотя ни ему, ни кому другому не удалось пока построить обоснование.)
Часто решение задачи похоже на жизнь Багиры из «Книги Джунглей». Багира родилась среди людей, а не в джунглях. Она сидела за железными прутьями и ее кормили, просовывая между ними железную чашку. Наконец, раз ночью она почувствовала, что она, Багира, — пантера, а не людская игрушка, одним ударом лапы сломала глупый замок и ушла.
Так бывает и с решателями задач: сначала застреваешь в непонятках как в клетке, и вдруг чувствуешь: вот оно — решение! И уж потом его допиливаешь — строишь цепочку рассуждений, которые служат обоснованием. (Про это у Мартина Гарднера есть книга «Аha! Insight», в русском переводе она называется «Есть идея!») В идеале правильный учитель математики не рассказывает детям, как решать задачу, позволяя ребенку пережить «Аha!» самому. Это восхитительное чувство — сравнимое с тем, что переживала Багира, осознав, что она свободна.
Вот пример очень известной и полезной занимательной задачи, но не от Багиры:
Если раньше вы эту задачу не решали, то ответ увидеть трудно , и самое правильное, что можно сделать — взять две настоящие монетки, провести эксперимент и увидеть решение своими глазами. Это правильный подход, но ощущение прозрения он обычно не вызывает; разве что удивление, если решение не сошлось с тем, что показалось с самого начала.
Давайте усложним задачу. На столе две разные монеты: у левой диаметр в 4 раза меньше, чем у правой. Левую плотно прижимают к правой и «прокатывают» по ней, пока левая не вернется обратно в исходное положение. Сколько полных оборотов на 360 градусов сделает орел на этой монетке?
Если бы маленькая монета катилась на то же расстояние по прямой, то сделала бы ровно 4 оборота, ведь один оборот завершался бы каждый раз, когда монетка прокатывалась от одной белой метки до следующей белой.
Это кажется настолько очевидным, что мы не замечаем, как существенно используем здесь прямизну прямой линии. Но просто «по аналогии» эту картинку переносить на окружность нельзя.
На этом рисунке видно, что маленькая монетка поворачивается на 360 градусов, еще не пройдя весь путь от белой метки до белой. А на протяжении всего путешествия монета поворачивается на 360 градусов не 4 раза, а 5. Правда, это видно нам — всевидящим читателям. А вот наблюдателю, который устроится в центре большей монеты, все видится иначе. Ему прекрасно видно, что орел приближается к поверхности ее большой монеты ровно 4 раза за время его кругосветного путешествия!
Полезно поэкспериментировать с разными отношениями: когда диаметр меньшей монеты короче в n=2, 3, 4, 5, 6,… раз диаметра большей, и вывести закономерность. Правда, даже это исследование еще не приносит ощущения «Ага!», самое большее — «Гм, ну надо же».
Между прочим, экспериментирование с монетами помогает понять, почему за одни сутки Земля поворачивается не на 360 градусов, а чуть больше. Сутки — это промежуток времени от зенита до зенита, а не полного оборота:
Но вернемся к нашим монетам.
Вместо большой монеты возьмем ее негатив: в плотном картоне вырежем круглую дырку диаметром в n=4 (или 2, 3, 4, 5, 6…) раза больше диаметра меньшей монеты. Внутрь дырки поместим меньшую монету, плотно прижмем к краю и «прокатим» по краю, пока монетка не вернется обратно в исходное положение. Внимание, вопрос: сколько полных оборотов на 360 градусов сделает маленькая монетка для разных n?
Угадали? Ага!
Это одна из тех задач, в которых можно натренировать интуицию, и она сначала подскажет ответ, а уж потом придут обоснования. Чтобы натренировать такую интуицию, в математике надо быть Багирой —хитрой, как Табаки, мужественной, как дикий буйвол, и неудержимой, как раненый слон.
___________________________________________________
Если кто знает, кто сравнивал решателей задач с Багирой — дайте ссылку, пожалуйста. Я помню, что кто-то говорил, но не помню кто и когда.