Что такое "физический смысл"? Полагаю, многие согласятся, что у физических сущностей физический смысл тавтологичен: это они сами. Физический смысл есть у математических концепций. Например, скорость течения жидкости сама себе физический смысл, а бездивергентное векторное поле имеет физический смысл поля скоростей течения жидкости.
Однако есть вещи, которые трудно идентифицировать: математические концепции это или физические. Например, треугольник. Есть математическая идеализация: три точки, не имеющие размеров, и соединяющие их отрезки прямых, не имеющие толщины. Однако многие согласятся, что треугольник вполне физичен: три тополя запросто образуют треугольник, и это нормально.
Рассмотрим прямоугольный треугольник: у него есть прямой угол и два острых угла, гипотенуза и два катета. Если поделить катет, который не является стороной угла, на гипотенузу, получится синус угла. Он не зависит от треугольника, а только от угла, что легко доказывается. Получается функция "синус", определенная для углов между нулем градусов и 90. Здесь пока особой разницы между математической абстракцией и ее физическим смыслом нет.
При этом, можно представить угол как поворот относительно точки и выбранного направления, и расширить синус на любые углы, от -∞ до +∞. Как этот расширенный синус связан с тем, геометрическим? Ну, он его расширяет. Каков физический смысл синуса --- конструкция с кругом, или конструкция с треугольником? Или это одно и то же?
Можно пойти дальше и определить комплексный синус. У него есть физический смысл? А можно разложить синус в ряд и подставить туда квадратную матрицу, и получить синус от матрицы, и какой у него теперь физический смысл?
Я уже писал, что физический смысл можно приписать любой математической концепции, хотя не обязательно от этого полегчает. Скажем, мнимая единица i --- это характеристическое число математического маятника с единичной частотой и без трения. Но что еще более важно, это обилие физических смыслов! Физический смысл --- это приложение математической концепции. Производная --- это скорость, и это прекрасно; но это еще и цена, сила, импульс, наклон, мера чувствительности и много чего еще. А иногда это "ничего не значит", это просто скорость изменения одной величины при изменении другой, и она применяется тупо как инструмент, например, при решении задачи оптимизации.
Вот вам пример. Оператор Лапласа, который в декартовых координатах есть сумма вторых производных по каждой координате. Уравнение Лапласа: оператор Лапласа равен нулю, в заданной области. Уравнение требует граничных условий. Первое краевое условие --- на границе области задается значение неизвестной функции. Такая задача имеет единственное решение (при разумных предположениях относительно области и распределения значений на границе). Вторая краевая задача --- на границе задается скалярное произведение градиента неизвестной функции на нормаль (единичный вектор, перпендикулярный к поверхности). Она в общем случае не имеет решения --- только если интеграл от заданного на границе распределения равен нулю.
Формально это не так просто доказать. С физическим смыслом --- элементарно. Оператор Лапласа можно записать как дивергенцию градиента; если считать неизвестную функцию концентрацией диффундирующего вещества, и принять закон Фика для диффузии (поток вещества направлен в направлении скорейшего убывания концентрации), то оператор Лапласа выражает поток вещества из окрестности данной точки. Равенство нулю означает, что концентрация не меняется во времени (хотя вещество может двигаться, просто сколько пришло --- столько и ушло). Получается стационарное распределение концентрации. Теперь очевидно, что полный поток через границу области равен нулю --- иначе поступающее или уходящее вещество меняло бы, так или иначе, распределение внутри.
Мы использовали консервативность, то есть наличие закона сохранения, который тоже имеет физический смысл. Но фокус в том, что оператор Лапласа имеет много других смыслов! Теплопроводность, намагничивание и много, много других.
Я уже рассказывал, что порой полезно отвлечься от физического смысла. Одно и то же разностное уравнение описывает вероятность проигрыша в орлянку и служит для определения среднего числа партий до разорения. А чтоб решить его, надо забыть о физическом смысле, потому что иначе ограничение "между нулем и единицей" не даст взлететь. При том, что ответ в итоге получается какой надо.
Так есть ли физический смысл у пространства-времени в ОТО? Ну как, есть: это пространство-время! Это же физическая категория. Можно поговорить об определении: что это такое, пространство-время. Но не нужно. Берется учебник по римановой геометрии, там строго и однозначно определено риманово пространство с сигнатурой 1, 1, 1, -1 и у него есть физический смысл: релятивистское пространство-время. Есть физическая теория, ОТО, которая описывает, как энергия-импульс определяет геометрию риманова пространства-времени, и какова динамика точек в таком пространстве. Эта теория проверяется наблюдениями и экспериментами, в результате противники: либо принимают теорию; либо занимаются другими делами; либо вышвыриваются на обочину и пишут дурацкие комментарии в интернете.
Выводы к заметке. Физический смысл математических концепций --- вещь полезная. Достаточно сузить абстракцию так, чтобы увидеть этот смысл (как с синусом, если бы мы пришли к нему не с той стороны вдруг). Но вцепляться в него зубами не следует, это лишь путеводная звезда. Полярная звезда полезна, чтобы найти дорогу; но шагать только в ее сторону не очень хорошо --- забредешь в ледяные места и будешь сожран белыми медведями.